Линейные отображения. Действия с матрицами

 

Матрицы и отображения

 

Пусть  и  --- арифметические линейные пространства столбцов высоты  и  соответственно. Пусть, далее,  --- матрица размера . Определим отображение , полагая для любого  

 

                            

 

где  --- столбцы матрицы . Так как они имеют высоту , то в правой части (1) стоит вектор-столбец . Более подробно (1) переписывается в виде

 

                             

 

Если ,

то .

Аналогично .

Обратно, предположим, что  --- отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами:

(i)  для всех ;

(ii)  для всех .

Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств  и  соответственно символами  и , мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору

:

 

                        

 

Соотношение (2) показывает, что отображение  полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив

 

                 

 

мы обнаруживаем, что задание  равносильно заданию прямоугольной матрицы  размера  со столбцами , а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить .

 3.1.1 . Определение. Отображение , обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из  в . Часто, в особенности при , говорят о линейном преобразовании. Матрица  называется матрицей линейного отображения .

Пусть ,  --- два линейных отображения  с матрицами  и . Тогда равенство  равносильно совпадению значений  для всех . В частности, , откуда  и .

Резюмируем наши результаты:

 

3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями  в  и матрицами размера  существует взаимно однозначное соответствие.

Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях  произвольных множеств  и . Условия (i), (ii) предполагают, что  и  --- подпространства арифметических линейных пространств , .

Обратим внимание на специальный случай , когда линейное отображение , обычно называемое линейной функцией от  переменных, задается  скалярами :

 

                      

 

Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения  при фиксированных  и  можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть  --- два линейных отображения. Отображение

 

                         

 

определяется своими значениями:

 

                               

 

В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.

Так как

 

 

то  - линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице . Чтобы найти , выпишем, следуя (3), столбец с номером :

 

Матрицу  с элементами  естественно назвать линейной комбинацией матриц  и  с коэффициентами  и :

 

                         

 

                          

 

Итак, .

Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.

 

Произведение матриц

 

Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера  и отображений . В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.

Пусть ,  --- линейные отображения,  --- их композиция.

Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что  --- линейное отображение, но это довольно ясно:

(i) ;

(ii) ;

 

поэтому по теореме 1 с  ассоциируется вполне определенная матрица .

Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле ( ):

 

                   

 

С другой стороны,

 

                               

 

Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что  --- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям

 

                        

 

Будем говорить, что матрица  получается в результате умножения матрицы  на матрицу . Принято писать . Таким образом, произведением прямоугольной матрицы  размера  и прямоугольной матрицы  размера  называется прямоугольная матрица  размера  с элементами , задающимися соотношением (7). Нами доказана

3.2.1 Теорема. Произведение  двух линейных отображений с матрицами  и  является линейным отображением с матрицей . Другими словами,

 

                                       

 

Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).

Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение  двух произвольных матриц , , имея в виду, однако, что символ  имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице  совпадает с числом строк в матрице . Именно при этом условии работает правило (7) "умножения -й строки  на -й столбец ", согласно которому

 

                             

Число строк, матрицы  равно числу строк матрицы , а число столбцов --- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря, , как показывает хотя бы следующий пример:

 

                    

 

Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

Следствие. Умножение матриц ассоциативно:

                                      

 

Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).

 

Квадратные матрицы

 

Пусть  (или ) --- множество всех квадратных матриц ( ) порядка  с вещественными коэффициентами ,

Единичному преобразованию , переводящему каждый столбец  в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица

 

                                   

 

Можно записать , где

 

                                    

 

- символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить  на , показывает, что справедливы соотношения

 

                            

 

Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений  для произвольного отображения , если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с .

Как мы знаем (см. (5)), матрицы из  можно умножать на числа, понимая под , где , матрицу .

Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:

 

                          

 

                           

 

- известная нам скалярная матрица.

В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности  с любой матрицей . Весьма важным для приложений является следующее его обращение.

 

3.3.1 Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в , должна быть скалярной.

Доказательство. Введем матрицу , в которой на пересечении -й строки и -го столбца стоит 1, а все остальные элементы --- нулевые. Если  --- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,

 

                              

 

Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы

                  

 

с единственным ненулевым -м столбцом и соответственно с единственной ненулевой -й строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям  при  и . Меняя  и , получаем требуемое.

Отметим еще соотношения , которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.

Для данной матрицы  можно попробовать найти такую матрицу , чтобы выполнялось условие

 

                                     

 

Если матрица  существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие

 

                                   

 

означающее, что  --- преобразование, обратное к .  существует тогда и только тогда, когда  --- биективное преобразование. При этом  определено однозначно. Так как , то биективность  означает, в частности, что

 

                           

Пусть теперь  --- какое-то биективное линейное преобразование из  в . Обратное к нему преобразование  существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности , мы введем векторы-столбцы

 

                       

                                 

 

и применим к обеим частям этих равенств преобразование . В силу его линейности получим

            

                        

 

Так как , то

 

             

                        

 

откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что ,  --- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем , где  --- некоторая матрица. Переписав условие ( ) в виде  (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).

Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование  биективно. При этом преобразование  линейно. Биективность  равносильна условию, что любой вектор-столбец  записывается единственным образом в виде (1)

 

                            

где  --- столбцы матрицы  (сюръективность  приводит к существованию , для которого , а инъективность  дает единственность : если , то , откуда, согласно (12), ). Значит,  совпадает с пространством столбцов  матрицы , так что .

Если матрица, обратная к , существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом . В таком случае (см. ( ))

 

                                       

 

Квадратную матрицу , для которой существует обратная матрица , называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование . В противном случае матрицу  и линейное преобразование  называют вырожденными (или особенными).

Резюмируем полученные нами результаты.

 

3.3.2 Теорема. Квадратная матрица  порядка  является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14).

Следствие. Невырожденность  влечет невырожденность  и . Если  --- невырожденные  --- матрицы, то произведение  также невырождено и .

Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия .

Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка . Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:

 

                   

 

где , ,  --- произвольные матрицы из .

Действительно, полагая , мы получим для любых  равенство (используется дистрибутивность в ):

 

                           

 

левая часть которого дает элемент  матрицы , а правая --- элементы  и  матриц  и соответственно . Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в . Законы дистрибутивности

 

                   

 

для линейных отображений , ,  из  в  можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из ( ), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.

Заключение

 

Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы  справедливо равенство  (это число называется просто рангом матрицы  и обозначается символом ).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения  к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица  порядка  является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность  влечет невырожденность  и . Если  --- невырожденные  --- матрицы, то произведение  также невырождено и .