Возвращение к уравнениям

В арифметическом линейном пространстве  столбцов высоты  рассмотрим  векторов

и их линейную оболочку . Пусть дан еще один вектор . Спрашивается, принадлежит ли  подпространству , а если принадлежит, то каким образом его координаты  выражаются через координаты векторов . В случае  вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора  в базисе . Мы берем линейную комбинацию векторов  с произвольными коэффициентами  и составляем уравнение . Наглядный вид этого уравнения

есть лишь иная запись системы из  линейных уравнений с  неизвестными:

 Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.

В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму  значком . При этом  --- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила

достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы,

в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины  в прямоугольную матрицу размера : в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.

Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.

Ранг матрицы

Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы  размера  введенное выше пространство , которое мы будем обозначать теперь символом  или просто  (в --- вертикальный). Его размерность  назовем рангом по столбцам матрицы . Аналогично вводится ранг по строкам матрицы : , где  --- подпространство в , натянутое на векторы-строки ,  (г --- горизонтальный). Другими словами,

- ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства  величины  и  определены правильно.

Будем говорить, что матрица  получена из  при помощи элементарного преобразования типа (I), если  для какой-то пары индексов  и  для . Если же  для всех  и , , то говорим, что к  применено элементарное преобразование типа (II).

Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица , получающаяся из  при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в  путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.

2.2.1 Лемма. Если матрица  получена из прямоугольной матрицы  путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:

(i)

(ii)

Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда  получена из  путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).

(i) Так как, очевидно, , то э. п. типа (I) не меняет . Далее,  и, следовательно, , так что  не меняется и при э. п. типа (II).

(ii) Пусть  --- столбцы матрицы . Нам нужно доказать, что

Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство . Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например, . Тогда, заменяя в (1)  на  и все  на 0, мы видим, что  --- решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы , получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу . Так как система  кратко записывается в виде , то мы приходим к соотношению

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

2.2.2 Теорема. Для любой прямоугольной -матрицы  справедливо равенство  (это число называется просто рангом матрицы  и обозначается символом ).

Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками , матрицу  можно привести к ступенчатому виду:

с . Согласно лемме  так что нам достаточно доказать равенство .

Столбцы матриц  и  с номерами , отвечающими главным неизвестным  линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения

связывающего векторы-столбцы , ,  матрицы (3), получим последовательно: , , , , , а так как , то . Значит,  и . Но пространство , порожденное столбцами матрицы , отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из  удалением последних  нулевых строк. Поэтому . Сопоставление двух неравенств показывает, что  (неравенство  вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы  являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

С другой стороны, все ненулевые строки матрицы  линейно независимы: любое гипотетическое соотношение

как и в случае со столбцами, дает последовательно , , , . Откуда . Стало быть,

Критерий совместности

Ступенчатый вид матрицы , дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается

Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно , где  --- матрица системы.

Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы  (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы . Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств.

В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы , устраняющее необходимость приведения  к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.

2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы

Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца  свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов  матрицы . Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то  и , откуда  (см. формулировку теоремы 1).

Обратно, если ранги матриц  и  совпадают и  --- какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы , то расширенная система  будет линейно зависимой, а это означает, что  --- линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов . Стало быть, система (2) совместна.