Примеры алгебраических групп матриц

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

 

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-42

Мариненко В.В.

 

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Скиба С.В.

 

 

Гомель 2003

Содержание

 

Введение

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

1.2 О полугруппах

1.3 Компоненты алгебраической группы

1.4 О -группах

2 Ранг матрицы

2.1 Возвращение к уравнениям

2.2 Ранг матрицы

2.3 Критерий совместности

3 Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

3.2 Произведение матриц

3.3 Квадратные матрицы

Заключение

Список использованных источников

Введение

 

Множество  матриц -ой степени над  будем рассматривать как аффинное пространство  с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.

Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е.  - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.

1. Алгебраические группы матриц

Примеры алгебраических групп матриц

 

Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:

 

                          

 

где

 - единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа  (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа  (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

Централизатор произвольного множества из  в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из  в .

Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц  из  --- алгебраическая группа. Она обозначается  и называется алгебраической группой, порожденной множеством .

Каждую алгебраическую линейную группу из  можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из  в силу формулы

                            

 

Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму  на .

Пусть  --- алгебра над  конечной размерности  (безразлично, ассоциативная или нет),  --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в  какую-нибудь базу  и сопоставляя автоморфизмам алгебры  их матрицы в этой базе, мы получим на  строение алгебраической группы. Действительно, пусть

 

                                 

 

т. е.  --- структурные константы алгебры . Пусть далее

 

                                 

 

где . Тогда  задается в матричных координатах  очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений

 

                          

 

Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

1.1.1 Если матричная группа  содержит алгебраическую подгруппу  конечного индекса, то  сама алгебраическая.

Доказательство. Пусть  - аннулятор группы  в ,  - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть  - смежные классы  по . Для каждого  выберем многочлен

 

                                 

 

и положим

 

                                   

 

Очевидно, , . Получили противоречие.

Пусть  --- алгебраическая группа, ,  --- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества

 

                            

 

где , замкнуты. Если  тоже замкнуто и  --- общее поле квазиопределения для , , , то , ,  квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно  с условием  (соответственно, , ), то можно считать, что  (см. 7.1.5).

Если на множестве  выполняется теоретико-групповое тождество , то оно выполняется и на его замыкании . В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

 

О полугруппах

 

Определим действие элементов из  на рациональные функции из , , полагая

 

                     

 

Для каждого  отображение  (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение  есть изоморфизм полной линейной группы  в группу автоморфизмов расширения .

Имеет место следующее предложение.

1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из  являются группами. Более общно: замыкание  произвольной полугруппы  --- группа. Более точно: если  --- аннулятор  в , то  совпадает с

 

                              

 

Здесь вместо  можно написать .

Доказательство. Во-первых,  и, значит, . Действительно, если ,  и , то , т. е. . Подпространство  многочленов из  степени  отображается оператором  на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё  отображается на себя, как объединение всех .

Во-вторых, , т. е.  для каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, . Найдём  с условием . Тогда .

В-третьих, , т. е.  для всех , . Действительно, . Предложение доказано.

Таким образом, теория алгебраических полугрупп из  исчерпывается теорией алгебраических групп.

Отметим ещё одно полезное предложение.

1.2.2 Пусть алгебраическая группа  неприводима, т. е.  --- многообразие,  --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент  является произведением двух элементов из ; в частности, если  --- подгруппа, то она совпадает с .

Доказательство. Множества  и  тоже густые и плотные, поэтому пересечение  непусто (см. п. 8.2).

Если  --- полугруппа из , то .