Закон инерции квадратичных форм

ПРИМЕР: Квадратичная форма:

двумя различными способами приведена к следующим каноническим видам:

Сравнение этих канонических видов одной и той же квадратичной формы показывает, что в обоих видах число положительных слагаемых равно 2, а отрицательных – 1.

Квадратичная форма L называется положительно (отрица­тельно) определенной, если при любых значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется неравенство   L > 0 (L < 0).

Существуют различные критерии для установления знаковой определенности квадратичных форм. Приведем два из них как наиболее употребительные.

Критерий Сильвестра

В критерии Сильвестра под главными минорами матрицы понимают миноры i – го порядка, построенные следующим образом:

ПРИМЕР: Покажите положительную определенность квадратич­ной формы: .

Найдем вначале матрицу этой формы. Поскольку эту форму можно переписать в виде: , искомая матрица имеет вид:

Характеристическое уравнение для этой матрицы будет иметь вид:

, или: .

Решая его, найдем: , следовательно, на основа­нии первого критерия можно заключить, что данная квадратичная форма является положительно определенной.

Теперь найдем главные миноры матрицы А:

.

Поскольку оба полученных минора положительны, на основании критерия Сильвестра заключаем, что данная квадратичная форма является положительно определенной.

Рекомендуемая литература по Теме 3: [1 ÷ 3].

ВОПРОСЫ для самопроверке знаний по теме 3:

При каком значении с векторы  и  будут перпендикулярны?

Сколько векторов будет содержать базис пространства ?

Можно ли образовать ортонормированный базис из двух векторов: ?

В какие векторы преобразует векторы (1, 0) и (0, 1) линейный оператор, заданный матрицей  ?

Является ли число 1 собственным значением матрицы  ?

Будет ли положительно определенной квадратичная форма ?