Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве

Полагая, что понятия плоскости и трехмерного пространства известны читателю из школьного курса геометрии, обобщим, а в некоторых случаях уточним, начальные сведения о векторах.

Вектором называется направленный отрезок  с начальной точкой A и конечной точкой B, который можно перемещать параллельно самому себе. Обозначение:   или .

Длиной (модулем, нормой)   вектора  называ­ется число, равное длине отрезка AB, изображающего вектор.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, и компланарными, если их количество равно трем и они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях.

Если точки начала и конца вектора совпадают, напри­мер,  то такой вектор называется нулевым вектором и обозначается: . Длина нулевого вектора равна нулю, т.е. . Поскольку направление нулевого вектора не определено, то его считают коллинеарным любому вектору.

Произведением вектора  на число λ называется век­тор:  имеющий длину  и направление, совпадающее с напра­влением вектора  если λ > 0, и противопо­ложное ему, если  λ < 0.

Противоположным вектором вектору  называется произведение этого вектора на число (− 1), т.е. .

Перенесем вектор параллельно самому себе таким образом, чтобы его начальная точка совпала с началом координат. Тогда можно ввести понятие координат вектора.

Координатами вектора называются координаты его конечной точки, если его начальная точка помещена в начало координат. При этом координатами вектора  на плоскости являются числа , где M(x, y), а в трехмерном пространстве – соответственно – числа , где M(x , y , z).

В соответствии с приведенными определениями не трудно показать, что суммой векторов  и  будет вектор  с координатами: , произведением вектора  на число l будет вектор  с коор­динатами: .

Из тех же определений следует, что длина вектора равна квад­рат­ному корню из суммы квадратов его координат:

     или .

соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве.

Скалярным произведением   двух векторов называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла j между ними, т.е.: . Скалярное произведение векторов можно выразить и через координаты этих векторов:

 или .

соответственно, на плоскости и в трехмерном пространстве.

Если , то очевидно угол между векторами  и  будет равен нулю, следовательно:

,

т.е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Очевидно, что косинус угла между векторами будет определяться выражением:

3.2. N -мерный вектор и векторное пространство

Определение. N -мерным вектором называется упорядочен­ная сово­купность n действительных чисел:  а каждое число х _i называ­ется i-ой компонентой (координатой) вектора.

По аналогии с векторами на плоскости (двухмерными векторами) и в трехмерном пространстве (трехмерными векторами) можно сформулировать следующие пра­вила, которые следует рассматривать как аксиомы.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. , если  для всех .

Суммой двух n-мерных векторов называется n-мерный вектор, компоненты которого равны сумме соответствующих компо­нент слагаемых векторов, т.е. если  то  для всех .

Произведением n -мерного вектора на дейст­ви­тельное число называется n-мерный вектор, компоненты которого равны произ­ведению этого числа на соответствующие компоненты этого вектора, т.е. если , то  для всех .

Операции над векторами, установленные этими правилами, принято называть линейными операциями. Линейные операции над  векторами должны удовлетворять целому ряду свойств, рассматривае­мых как аксиомы.

 - коммутативное свойство суммы.

 - ассоциативное свойство суммы.

 - ассоциативное свойство относительно числового множителя.

 - дистрибутивное свойство относительно суммы векторов.

 - дистрибутивное свойство относительно суммы числовых множителей.

Существует нулевой вектор  такой, что  для любого вектора , в этом – особая роль нулевого вектора.

Для любого вектора  существует противоположный вектор  такой, что .

Для любого вектора  справедливо , в этом – особая роль числового множителя 1.

Определение. Векторным (линейным) пространством называется множество векторов с действительными компонен­тами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведенным восьми аксиомам,

ПРИМЕР: Для заданной матрицы А размера m  x n строки этой матрицы можно рассматривать как множество n-мерных векторов.