Оператор дифференцирования.

 

Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D_[a,b], заданный следующим образом:

Дf(x) = f^/(x);

Функция f(x)  D_{[a, b]}, f^/(x)  C_{[a, b]};

 

Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:

1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).

Д(f+g) = (f+g)^/ = f^/ + g^/ = Д(f) + Д(g).

2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).

Д(kf) = (kf) ^/ = k(f)^/ = kД(f).

Исходя из свойств производной:

1. производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;

2. постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Можно утверждать, что Д – линейный оператор.

 

3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.

3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.

Задан оператор Дf(x) = f^/(x) подпространства E  C_{[0, 2 ]}, состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C_{[0, 2 ]}.

Рассмотрим f₀(x) = 0  C_{[0, 2 ]} и последовательность функций f_n(x)= .

В пространстве E  C_{[0, 2 ]}: p (f₀, f_n) = | | =  0, следовательно f_n  f₀.

Рассмотрим последовательность образов: Д(f_n ) = cos(nx).

Имеем:

p (Дf_n, Дf₀) = |cos(nx)|  = 1.

Это означает, что Дf_n не может сходиться к Дf₀ , то есть отображение Д терпит разрыв в f₀.

Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не является ограниченным.

3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его разрывность.

Пусть оператор Д действует из C_{[0, 1]} в C_{[0, 1]}, оператор Дf(x) = f^/(x);

Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.

В пространстве C_{[0, 1]} норма ||f|| = |f(t)|.

Возьмем из C_{[0, 1]} последовательность f_n(t) = tⁿ. Она ограничена в C_{[0, 1]}: ||f_n(t)|| = |tⁿ| = 1.

Рассмотрим Д f_n(t): Д f_n(t) = f^/_n(t) = n t^n-1;

||f^/_n(t)|| = |n t^n-1| = n.

В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным, а по теореме 3 не является непрерывным.

 

Вывод:

Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D_[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f^/(x), где функция f(x)  D_{[a, b]}, f^/(x)  C_{[a, b]}:

1. линейный;

2. не ограниченный;

3. не непрерывный.

Оператор сдвига

 

Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C_{[ ]}, заданный следующим образом:

Af(x) = f(x+a).

Функции f(x), f(x+a)  C_{[ ]}, a  R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция.

 

Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться следующие аксиомы :

1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).

А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

По определению суммы функции, аксиома верна.

2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).

A(k*f(x)) = k*f(x+a) = k*A(f(x)).

Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

 

3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(x), f₀(x))  0     p (A f_n(x), Af₀(x)) 0.

Оператор А действует в пространстве C_{[ ]}, в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(x), f₀(x)) = | f_n(x) - f₀(x)|.

Решение:

p (A f_n(x), Af₀(x)) = |Af_n(x) - Af₀(x)| = |f_n(x+a) - f₀(x+a)| =  = |f_n(t) - f₀(t)| = p (f_n(t), f₀(t))  0.

Таким образом p (A f_n(x), Af₀(x))  0. Следовательно оператор А непрерывен.

 

4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):

||A|| = |Af| = |f(x+a)|  1.

Поскольку ||f|| = |f(x)|  1.

Норма А: ||A|| = 1.

5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)

Такой оператор A сдвигает функцию на const a; обратный к A оператор будет сдвигать функцию на const (-a):

A^-1f(x) = f(x-a).

6) Спектр оператора А.

Рассмотрим пространство непрерывных функций – С_{[0, + )}, имеющих конечный предел на :

Af(x) = f(x+a), a 0.

Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С_[0,b) и С_{[а,+ )}.

Введем функцию V(x) =  при | |<1, 0, найдем ее предел:

 = 0

Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С_{[0,+ )}.

Теперь рассмотрим V(x+a) =  = *  = *V(x).

Для =0 подберем непрерывную функцию = 0 при x  а и не равную 0 при x  [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет разностному отношению  V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1  точечному спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга  точечному спектру.

Покажем, что остальные точки окружности  точечному спектру оператора А в пространстве С_{[0, + )}.

Рассмотрим U(x) =  и число  =  (| | = 1);

U(x+a) =  =  = U(x);

U(x) =  = Cos( ) + iSin( ), принадлежит пространству С_[0,b) так как мнимая и действительная части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С_{[a, + )} так как не имеют конечного предела на .

Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А в 2-х пространствах.

Покажем, что в пространстве С_{[0, + )} точки  = ,  2 n не будут собственными числами.

Докажем это от противного: пусть найдется  = ,  2 n – собственное число, тогда найдется функция f(x)  С_{[0, + )}, что

f(x+a) = f(x).

Применим оператор А n раз: f(x+n*a) = ⁿf(x), тогда

 f(x+na) = ⁿf(x), у левой части предел конечен;

правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность ⁿ =  = Cos( n) + iSin( n).

Следовательно  = ,  2 n собственным числом не является.

Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С_{[0,+ )}, так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С_{[0, + )}.

Сделаем вывод:

При | |>1 все точки регулярные;

При | |<1 и =1 – точки спектра;

При  = ,  2 n – точки непрерывного спектра.

 

Вывод:

Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C_{[ ]}, заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a)  C_{[ ]}, a  R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:

1. линейный;

2. непрерывный и ограниченный;

3. норма А: ||A|| = 1;

4. A^-1f(x) = f(x-a);

5. Спектр оператора А:

· при | |<1 и =1 – точки спектра;

· при  = ,  2 n – точки непрерывного спектра;

· При | |>1 все точки регулярные.

 

Заключение

 

В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

 

Список литературы

1.  Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972.

2.  Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968.

3.  Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978.

4.  Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.

 

[1] E_x и E_y  - линейные многообразия, то есть если x, y  E_x , то x + y  E_y , при , .

E_x – область определения А;

E_y  - область значения А;

[2] Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;

[3]Шаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p ( x_n , x ₀ ) < а.

Шар D ( x ₀ , a ).

Если p ( x_n , x ₀ )  а, то D ( x ₀ , a ) – замкнутый шар.

Если p ( x_n , x ₀ ) = а, то S ( x ₀ , a ) – сфера.

Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y , называется окрестностью точки y .

 

[4]Свойства нормы оператора.

1) Если оператор  ограничен, , то и оператор  ограничен, причем .

2) Если операторы  ограничены, то и оператор  ограничен, причем  и .

 

[5]Линейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.

 

[6] Резольвента – это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.