Непрерывные линейные операторы в нормированном

Пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

 

Пусть ,  – нормированные пространства.

Определение 2 .Оператор А: Е  Е₁ называется непрерывнымв точке , если какова бы не была последовательность x_n  x₀, А(x_n) сходится к А(x₀). То есть, при p (x_n, x₀)  0, p (А(x_n), А(x₀))  0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x₀, если какова бы не была окрестность[3] U точки y₀ = А (x₀) можно указать окрестность V точки x₀ такую, что А(V)  U.

Иначе >0 >0, что как только p (x, x₀) < , p (f(x), f(x₀)) < .

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х₀ = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0 тогда и только тогда, когда . Пусть оператор А непрерывен в точке х₀=0. Возьмем последовательность точек пространства х_n®х₁, тогда х_n–х₁®0, отсюда А(х_n–х₁)®А(0)=0, т. е. А(х_n–х₁)®0.

Так как А – это линейный оператор, то А(х_n–х₁)®Ах_n–Ах₀, а тогда

Ах_n-Ах₀ ® 0, или Ах_n®Ах₀.

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х₀=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С_{[0, 1]} в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С_{[0, 1]} и y_n(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

 p (y_n, y) = |y_n(x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(y_n) = y_n(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(y_n), F(y)) = |F(y_n) - F(y))| = | y_n(1) - y(1)| |y_n(x)- y(x))|=p(y_n,y),

то есть p (F(y_n), F(y))  0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С_{[a, b]}, то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е  Е₁ называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx||  K||x||.                (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k  S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (k_n), сходящуюся к k. Так как k_n  S, то выполняется неравенство: |А(x)|  k_n||x||, (x E). Переходя в этом неравенстве к пределу

получаем |А(x)|  k||x||, где (x E), (k  S).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4].

||А||  K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)|  ||А|x||, где

||А|| = x E.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из E_x в E_y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx||  K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||<  ||Ax|| < .

Выберем  так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит  = , тогда если ||x||< , то ||Аx||  K||x|| < K =  

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в  точке.

Достаточность:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x₁ такой, что ||A x₁|| > 1|| x₁||.

Числу 2 найдется вектор x₂, что ||A x₂|| > 2|| x₂|| и т.д.

Числу n найдется вектор x_n, что ||A x_n|| > n|| x_n||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов y_n = , где

||y_n|| = .

Следовательно последовательность y_n  0 при n .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аy_n  0, однако

||Аy_n || = ||A || = ||Ax_n ||  > n|| x_n||  = 1, получаем противоречие с Аy_n  0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

 

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) =  в C_{[a, b]}, где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = | |.

| |  | | = | y(x)|| | |y(x)|| |;

||F|| = ( |y(x)|| |) = ||y(x) | = | | .

Таким образом, норма F(y) =  будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| =  = 1.