Оператор интегрирования

 

Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C_[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:

Аf(t) = .

f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t  [a,x]; x  [a,b]; a,b R;

Поскольку  - интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a  x  b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.

 

Проверим оператор A на линейность. По определению 1:

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) =  =  +  = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).

A(kf) =  = k*  = kA(f).

Исходя из свойств интеграла:

1. интеграл от суммы, есть сумма интегралов;

2. вынесение const за знак интеграла.

Можно сделать вывод: оператор А является линейным.

 

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (f_n(t), f₀(t))  0     p (A f_n(t), Af₀(t)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C_[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (f_n(t), f₀(t)) = | f_n(t) - f₀(t)|.

Решение:

p (A f_n(t), Af₀(t)) = |  - |.

|  - | = | |  = p (f_n(t), f₀(t))  = p (f_n(t), f₀(t)) (x-a)  0

a x b.

Таким образом p (A f_n(t), Af₀(t))  0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.

 

4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):

| |  | |  | |

| | = 0; | | = |b-a|.

0  | |  |b-a|.

5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||= |A(f)|):

||A|| = |A(f)| =  | |  = (x-a);

a  x  b;

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f  C_[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

x  [0,b], t  [0,x];

Найдем оператор обратный к (A - *I),  R;

(A - *I)*f = g

 - *f(x) = g(x)     (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

f - *f^/ = g^/      (2)

Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

 - f^/ =

 -  + f^/ = 0      (3)

Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:

 - *U*V + U^/ *V + U*V^/  = 0

U^/ *V + U*V^/ - *U*V = -

U^/ *V + U*(V^/ - *V) = -          (4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V^/ - *V = 0

V^/ = *V

 = *V

 =

LnV =  + c

V = * , пусть  = с₁

V = с₁*

Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V^/ - *V = 0.

Получим уравнение:

U^/ * с₁*  = -

 = -

 = - *

U = - *

Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:

f(x) = с₁* *(- )*

найдем интеграл Y = , интегрируем по частям:

dz = g^/(x)dx;

z =  = g(x);

j = ;

dj = - * dx;

Y = g(x)*  + *

Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:

f(x) = -  - * * ;

Получим оператор В:

Bg = -  - * * ;

x  [0,b], t  [0,x], g(x)  S,  - произвольное число.

Оператор В не существует, если  = 0;

Рассмотрим ограниченность оператора В для всех  R,  0;

||Bg|| = ||f(x)|| = |f(x)| = |-  - * * | (| | + | * * |) | | + | * * | | | + | * |* |g(x)* |*|x| * |g(x)| + * |g(x)|* (| |*|x|) |g(x)|*(  + * * *b);

При  > 0

 = ;

 = 1;

При  < 0

 =1;

 = ;

Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, }, тогда

|g(x)|*(  + * * *b) |g(x)|*(  + * {1, }*b) = ||g(x)||*(  + * {1, }*b);

Итак:

||Bg||  ||g(x)||*(  + * {1, }*b);

То есть В – ограничен.

Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A - *I).

Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A - *I)*(Bg) = g(x).

Итак, нужно доказать, что

 + g(x) + *  = g(x)

или

- *  -  + * *  = 0; (*)

Возьмем производную от левой части (*) и получим:

- *g(x) - * *  + * *  + * * * g(x) = - *g(x) + *g(x) - * *  + * *  = 0;

Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A - *I) в S.

Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A - *I), который существует при  R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение  при которых В не существует, то есть =0.

 

Вывод:

Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C_[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t  [a,x]; x  [a,b]; a,b R:

1. линейный;

2. непрерывный;

3. ограниченный: 0  | |  |b-a|;

4. норма A: ||A|| = (b-a);

5.  резольвента оператора А: R (A) = -  - * * , где

x  [0,b], t  [0,x], g(x)  S, S = {f  C_[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||= |f(x)|, g(x) =  - *f(x), - произвольное число.

6. Спектр оператора А: =0.