Способ построения дифференциальных систем, эквивалентных стационарным системам

 

Как известно исследованию стационарных дифференциальных систем посвящено огромное число работ. Это объясняется тем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемыми, чем неавтономные системы. Благодаря этому целесообразно использовать для изучения дифференциальных неавтономных систем стационарные системы, если удаётся установить одинаковость качественного поведения решений этих систем. Такая эквивалентность в поведении решений может быть установлена с использованием метода отражающей функции. Когда две системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то качественное поведение решений этих систем одинаково, т.е. периодические решения остаются таковыми, ограниченные - ограниченными, устойчивые - устойчивыми. В этом параграфе с использованием [1] и понятия первого интеграла системы показана возможность построения дифференциальных систем, эквивалентных данной (стационарной).

Пусть имеется дифференциальная система

 

 

с правой частью, удовлетворяющей теореме существования и единственности. Предположим, что функция  является первым интегралом системы .

Теорема 5.1. Дифференциальная система

в которой нечётная скалярная функция, а функция  является непрерывно дифференцируемой функцией, имеет ту же отражающую функцию что и система

Доказательство. Правую часть системы  обозначим . Положим,  и покажем, что функция  удовлетворяет уравнению

 

 

Находим . Подставим эти выражения в левую часть уравнения . Получим

 

 

Выражение  в силу определения интеграла системы и, следовательно, функция  действительно удовлетворяет уравнению . Согласно теореме 2 [см.5] системы  и  эквивалентны.

Из теоремы вытекают следующие замечания:

Замечание 5.1. Известно, что если дифференциальная система  эквивалентна некоторой стационарной, то она эквивалентна и системе  [3, с.24; 4, с.79]. Положив , и используя утверждение теоремы 5.1, мы построим нестационарную дифференциальную систему, эквивалентную .

Замечание 5.2 Особый интерес представляет построение нестационарных систем, эквивалентных хорошо исследованной стационарной. Приведём пример такого построения. Как известно исследованию стационарных дифференциальных систем посвящено огромное количество работ. Это объясняется тем, что эти системы во многих отношениях являются более просто исследуемыми чем неавтономные системы. Если различные дифференциальные системы имеют одну и ту же отражающую функцию, то значит они имеют одно и то же отображение за период в том случае, когда эти системы периодичны. При этом следует учитывать, что качественное поведение решений дифференциальных систем с одной и той же отражающей функцией одинаково.

Рассмотрим дифференциальную систему

 

 

которая имеет, в зависимости от знака , асимптотически устойчивый или неустойчивый предельный цикл .

Справедлива следующая

Теорема 5.2. Дифференциальная система

в которой

 

, ,

 

функции , непрерывные нечётные, вектор функции

 

, ,

где  

и функции  и  непрерывно дифференцируемы, имеет ту же отражающую функцию, что и система .

Доказательство. Правую часть системы  обозначим  и положим

 

.

Проверим для указанного  выполнение равенства

 

.

 

Находим

 

 

Здесь учтены равенства

 

 

Аналогичным образом легко убедиться, что и  является решением уравнения

.

 

Действительно

 

 

В соответствии с теоремой 1 [5, с.1326] добавка к правой части системы  слагаемых  и  не изменяет её отражающей функции.

Теорема доказана.

Теорема 5.3. Пусть в системе  функции  и периодичны. Тогда все решения этой системы, начинающиеся при  на окружности , являются периодическими. Все остальные решения, кроме тривиального, при  либо стремятся к одному из указанных периодических, либо уходят от них в зависимости от знака .

Замечание 5.3. Если правая часть системы представляет собой многочлены от искомых функций и известен полиномиальный первый интеграл такой системы, то с помощью указанной теоремы легко строится система с полиномиальной правой частью степень многочленов которой выше, чем в исходной системе. Следует отметить также и возможность решения обратной задачи. Пример решения такого типа задачи приведём ниже.

Рассмотрим уравнения

 

Здесь нечётная функция .

Правую часть уравнения  обозначим . Положим

 

 

и подберём функции  и  так, чтобы функция  удовлетворяла уравнению , при этом учитываем, что функции  и  известны.

Лемма 5.1. Если функция  удовлетворяет уравнению , то выполняются равенства

 

 

Доказательство: Вычислим , , . Получим

 

 

Подставим полученные выражения в уравнение , получим:

 

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  к , получаем:

 

 

Выражая из первого, второго и третьего уравнений системы , ,  соответственно и умножая четвёртое и пятое уравнения системы на  получаем то, что требовалось доказать.

Лемма доказана.

Лемма 5.2. Пусть функции  и  обращаются в нуль лишь в отдельных точках, в которых функции  доопределены до непрерывной дифференцируемости. Тогда

 

,

Доказательство: Рассмотрим более подробно четвёртое уравнение системы

 

 

Или

 

Поскольку по условию леммы , то сократим обе части равенства на . Получим: .

Поскольку  и функцию  можно определить до непрерывно-дифференцируемой, то  (это следует из последнего равенства) удовлетворяет равенствам из условия леммы 5.1.

Аналогично, из пятого уравнения системы

 

.

 

Лемма доказана.

Лемма 5.3. Пусть функция  обращается в нуль лишь в изолированных точках, в которых функции , , где функции ,  определяется формулой , доопределены до непрерывной дифференцируемости. Тогда

 

 

 

Доказательство: Рассмотрим равенство

 

 

из условия леммы 5.1. Тогда

 

.

 

Поскольку , то

.

 

Поскольку функция  доопределена до непрерывной дифференцируемости и  по лемме 5.2 непрерывно-дифференцируема, то  задаваемая выражением  удовлетворяет равенствам из условия леммы 5.1.

Лемма доказана.

Теорема 5.4. Если функции  и  таковы, что выполняются условия

 и

,

то уравнение

 

,

где  - нечётная функция, эквивалентно уравнению .

Это следует из теоремы 2 [8]

Следствие 5.1.

Уравнение

 

 

эквивалентно уравнению Риккати вида , в котором

 

, , .