Эквивалентные системы.

Рассмотрим класс систем

считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида  образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция  со свойствами:

 отражающая функция  любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения  с функцией ;

любая система вида , отражающая функция  которой совпадает в области  с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида , принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию  при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции .

Для построения систем имеющих одну и ту же отражающую функцию можно воспользоваться теоремой:

Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемой функции , для которой выполнены тождества , имеют место соотношения

Доказательство. Продифференцируем тождество  по  и по . Получим тождества

из которых следует неравенство  и тождества  и .

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть  есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции  выполнено

Тогда, для того, чтобы в области  функция  совпадала с , необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид:

где  есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Доказательство. Необходимость. Пусть  есть отражающая функция некоторой системы  и пусть  совпадает с .

Положим

Тогда используя тождества  и . и основное соотношение для отражающей функции , получим тождества

из которых следует, что всякая система, для которой  есть отражающая функция, может быть записана в виде .

Достаточность. Пусть в системе  есть такая функция, для которой решение системы  однозначно определяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции . Поэтому, согласно третьему свойству отражающей функции, функция  является отражающей функцией системы .

Теорема доказана.

Т.о. варьируя вектор-функцию  мы получим все системы имеющие заданную отражающую функцию.

У эквивалентных систем одинаковое количество периодических решений, т.к начальные данные периодических решений определяются из уравнения , где половина периода правой части соответствующих дифференциальных систем.

Пусть известно, что системы и

принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем, система  является периодической. Тогда если решения  и  систем и  соответственно продолжимы на отрезок , то , хотя система  может быть непериодической. Откуда следует

Теорема 2.2. Пусть система  с периодической по  правой частью и система  принадлежат одному классу эквивалентности, а их решения существуют при всех . Тогда между периодическими решениями системы  и решениями двухточечной задачи  для системы  можно установить взаимооднозначное соответствие.

Уравнения

например, принадлежат одному классу эквивалентности с отражающей функцией . Единственное периодическое решение

первого уравнения соответствует единственному решению задачи  второго уравнения.