К решению номера 4 контрольной работы номер 1 .

.

Определение .  Если в линейном пространстве  существует  линейно независимых векторов, а любые  векторов линейно зависимы, то линейное пространство  называется мерным. Число  называется размерностью пространства и обозначается .

Определение. Если , то система из  линейно независимых векторов , заданных в определенном порядке, называется базисом пространства .

Теорема. Если , - базис в , то любой вектор  можно единственным образом разложить по базису, т.е. представить в виде линейной комбинации базисных векторов: , .

Определение . Будем говорить, что три вектора  в трехмерном пространстве  образуют ортонормированный базис, если длина каждого из них равна единице и они попарно ортогональны,

Т.е. ,          

 

 

 

 

 

 

К решению номера 5 контрольной работы номер 1(вариант 1)

Ненулевой вектор  называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое число , что выполняется равенство: . Число  называется собственным значением оператора , отвечающим собственному вектору .

       Множество собственных значений линейного оператора называется его спектром.

       Рассмотрим матрицу оператора в некотором базисе:

       Тогда соотношение  или (  ),  эквивалентно следующему:

       Это есть однородная система ого порядка, всегда имеющая нулевое решение . По правилу Крамера она будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е.

          (1)

       Итак, собственные числа являются корнями алгебраического уравнения ого порядка (1), которое называется характеристическими уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом.

Заметим, что собственные значения не зависят от выбора базиса, в котором записывается матрица оператора .

       Пусть  - собственное значение, т.е. решение характеристического уравнения (1). Тогда собственный вектор , отвечающий этому собственному значению, будет решением однородной системы

                   (2)

       Так как множество решений линейной однородной системы является линейным пространством, то для нахождения собственных векторов , отвечающих собственному значению , достаточно найти базис этого пространства.

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора  с матрицей

A=

Решение. Составим характеристическое уравнение (1):

 =0 или

Собственные значения: ; . Для  составим систему (2):

  ~

= -одномерное линейное пространство собственных векторов с базисом .

Для

~

=          -одномерное линейное пространство

собственных векторов с базисом .

Отметим, что векторы  в  образуют базис не параллельно . Так как , то матрица линейного оператора в том базисе будет диагональной:

         А=

 

 

К решению номера 5.(вариант 2)

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Если квадратичная форма такова, что все   при , то она называется квадратичной формой канонического вида. Очевидно, что матрица квадратичной формы является диагональной; будем квадратичную форму канонического вида записывать так:

 - ранг квадратичной формы; .

Теорема. Пусть  - произвольная квадратичная форма от  переменных. Тогда найдется такое линейное невырожденное преобразование переменных, которое эту форму приведет к каноническому виду.

Сформулируем правило приведения квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотри два возможных случая.

1) Существует хотя бы одно . Пусть, например, . Выделим в квадратичной форме группу членов, содержащих  и дополним ее до полного квадрата, тогда получим:

Здесь  есть квадратичная форма, полученная в результате приведения подобных членов из  и членов, появившихся в результате выделения полного квадрата;  уже не зависит от . Можно применить линейное преобразование: ,

Получим: .

Если при этом квадратичная форма содержит хотя бы один квадрат, с ней поступают аналогично; в итоге получим сумму квадратов (канонический вид). Каждому выделению полного квадрата будет соответствовать невырожденное линейное преобразование переменных. Произведение всех этих преобразований, приводящим данную квадратичную форму к каноническому виду.

2) Пусть теперь все ; значит хотя бы один из  при . Пусть . Тогда нужно сделать преобразование переменных ; ; , в результате которого получим квадратичную форму, содержащую квадрат переменного, т.е. первый случай.

 

Пример. Привести квадратичную форму к каноническому виду .

Решение. Группу подчеркнутых членов можно записать в виде:

Подставляя их в данную квадратичную форму и приводя подобные слагаемые, получаем

 

Теперь рассмотрим группу членов

Проведем в ней выкладки, аналогичные выше приведенным, т.е.

Таким образом, данную квадратичную форму можно записать в виде:

Введем новые переменные:

; ;    или 

; ;

Последние равенства задают линейное преобразование переменных, которое приводит данную квадратичную форму к каноническому виду:

.

Приведение действительной квадратичной формы к каноническому виду.

Будем рассматривать только действительные квадратичные формы. Действительное линейное преобразование неизвестных (2) называется ортогональным, если оно сумму квадратов неизвестных  переводит в сумму квадратов . Матрица  этого преобразования называется ортогональной.

Для приведения действительной квадратичной формы к каноническому виду можно использовать теоремы: 

1. Всякая действительная квадратичная форма  некоторым ортогональным преобразованием неизвестных может быть приведена к каноническому виду.

2. Каково бы ни было ортогональное преобразование неизвестных, приводящее к каноническому виду квадратичную форму  с матрицей , коэффициентами этого канонического вида являются характеристические корни матрицы , взятые с их кратностями.

Таким образом, чтобы записать канонический вид квадратичной формы  с матрицей , к которому она приводится посредством ортогонального преобразования неизвестных, согласно теореме 2 достаточно найти корни многочлена

Если

, то ее канонический вид с точностью до нумерации неизвестных следующий:

Пример. Найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма  посредствам ортогонального преобразования неизвестных, не находя этого преобразования.

Решение.

ее характеристический многочлен

Имеет корни: . Тогда запишем канонический вид квадратичной формы: .

Чтобы найти матрицу  - матрицу искомого ортогонального преобразования, необходимо относительно  решить систему для каждого корня :

             (5)

Получим систему решений, подвергнем ее процессу ортогонализации и нормирования, получим систему координатных строк, которые составляют матрицу , по ней находим .

Пример. Для квадратичной формы  найти ортогональное преобразование, приводящее ее каноническому виду.

Решение. Канонический вид этой формы найден выше; собственные значения имеют вид: .

Составляем систему (5):

1)       

Т.е. получился вектор .

2)

Т.е. получился вектор .

3)

Т.е. получился вектор .

Векторы  взаимно ортогональны при любых . Нормируем эти векторы при

Следовательно,

Тогда

Искомое преобразование неизвестных имеет вид: