Ранг матрицы и его вычисление.

Тульский филиал

Кафедра «Математика и информатика»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Для решения контрольной работы номер 2

По дисциплине

МАТЕМАТИКА

Для студентов 1 курса, обучающихся по

Направлению 38.03.01 «Экономика»

(программа подготовки бакалавра)

К.ф.-м.н., доцент

Васина М.В.

К.ф.-м.н., доцент

Манохин Е.В.  

Утвержден на заседании

Кафедры «Математика и информатика»

Протокол 1 от 28.08.2015 г.

 

Тула 2015

 

К решению номера 1 контрольной работы номер 1 .

Произведение матриц.

Определение 5. Произведением матрицы  на матрицу  называется матрица  размера , элементы которой определяются равенствами .

Число столбцов в первой матрице должно совпадать с числом строк во второй.

Например.

; ; ,

Т.к.

Т.е. произведение матриц не обладает коммутативностью.

Транспонирование матрицы.

Определение . Транспонированием матрицы  называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номера.

Полученная матрица обозначается .

Например.

.

Определитель (число) квадратной матрицы порядка  обозначается символами:

.

Определение . Алгебраическим дополнением  элемента  называется определитель  порядка, полученный из  вычеркиванием  строки и  столбца, на пересечении которых стоит элемент , взятый со знаком .

Например.

 

Определитель - го порядка равен .

Такое разложение называется разложением по элементам первой строки. Оно сводит вычисление - го порядка к вычислению определителей - го порядка и т.д., до определителей 2-го порядка.

Можно доказать, что определитель можно вычислить путем разложения по любой строке или столбцу. Например, разлагая по 1-ой строке, получим:

.

Определение . Минором  - ого порядка матрицы  называется определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении каких – либо  строк и  столбцов ( ).

Обратная матрица.

Определение 10. Если  - квадратная матрица и матрица  такая, что  (  - единичная), то она называется обратной для  и обозначается .

Таким образом, по определению, .

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица  имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы .

Алгоритм нахождения  сводится к следующему:

1) составляется вспомогательная матрица  из алгебраических дополнений  и определителя :

2) полученная матрица транспонируется:

Используя разложение определителя по строке, легко убедится, что  - обратная для .

Пример. Найти обратную матрицу для .

Решение.

 

;

= .

Ранг матрицы и его вычисление.

Рангом матрицы  называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором. Ранг матрицы будем обозначать через ;  означает, что матрица имеет минор порядка , отличный от нуля, а все миноры порядка  или равны нулю или не существуют.

При вычислении ранга матрицы полезно пользоваться элементарными преобразованиями как над строками, так и над столбцами.

Пример. Определить ранг матрицы

Поменять местами первую и вторую строки:

            .

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-3), и к первой прибавим третью, умноженную на (-1):

        

Вычтем из третьей строки вторую:

 

Ранг последней матрицы равен 2, т.к.

.