К решению номера 3 контрольной работы номер 1 .

 (1)

Теорема Кронекера-Капелли. Система (1) совместна, т.е. имеет хотя бы одно решение, тогда и только тогда, когда , где

 - расширенная матрица системы (1), причем

1) если , то система (1) несовместна;

2) если  (  - число неизвестных), то система (1) неопределенная;

3) если , то система (1) имеет единственное решение.

У Кронекера эта теорема содержится в его лекциях, читавшихся в Берлинском университете в 1883-1891 г. Капели впервые дал формулировку теоремы с использованием термина «ранг матрицы».

Из сформулированной теоремы вытекает алгоритм решения системы (1):

Пусть . В матрице  выделяем базисный минор порядка . С этим минором связаны  уравнений и  неизвестных системы (1). Эти уравнения и неизвестные назовем базисными; все остальные уравнения системы отбросим, а все остальные  неизвестных в базисных уравнениях перенесем направо. Получим систему из базисных уравнений с базисными неизвестными. Т.к. ее определитель, являясь базисным минором, отличен от нуля, то по правилу Крамера полученная система имеет единственное решение. Это решение, зависящее от  произвольных постоянных, соответствующих небазисным неизвестным, и будет решением исходной системы (1).

Метод Гаусса.

Переходим к исследованию общих линейных систем. Рассмотрим систему из   линейных уравнений и с  неизвестными:

               (3)

Наряду с матрицей  составим так называемую расширенную матрицу системы (3) из коэффициентов при неизвестных и правых частей.

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы  с помощью элементарных преобразований над ее строками к ступенчатому виду:

 или

К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:

1) перемена местами двух строк;

2) умножение строки на число, отличное от нуля;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;

4) выбрасывание нулевой строки.

Расширенной матрице, приведенной к ступенчатому виду, соответствует линейная система, эквивалентная исходной, решение которой не вызывает затруднения. Реализацию метода Гаусса рассмотрим на примерах. Переход от   при помощи элементарных преобразований будем обозначать значком эквивалентности .

Пример. Решить систему с помощью метода Гаусса.

Решение.

Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-4), к третьей – первую, умноженную (-2).

Поменяем местами вторую и третью строки:

К третьей строке прибавим вторую, умноженную на 7:

Полученной ступенчатой матрице соответствует эквивалентная система: