Законы электрических цепей в операторной форме

Пусть цепь с последовательным соединением r, L, С при ненулевых начальных условиях включается на напряжение . Тогда

Применим к этому уравнению изображение Лапласа. Преобразование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений:

В результате вместо интегро-дифференциального уравнения получаем алгебраическое, откуда ток в такой цепи есть:

Это выражение представляет собой аналог закона Ома в оператор­ной форме для переходного процесса при ненулевых начальных условиях. В знаменателе стоит операторное сопротивле­ние:

В общем случае сложной цепи ее операторное сопротивление имеет вид:

Первый закон Кирхгофа в операторном виде:

Второй закон Кирхгофа в операторном виде при нулевых начальных условиях и отсутствии взаимной ин­дукции имеет вид:

       При составлении операторных уравнений удобнее использовать операторные схемы замещения, которые составляются на основе заданной электрической схемы для оригиналов. Сопротивления элементов ветвей записываются в операторной форме: R, pL, 1/pC. Изображения заданных ЭДС и токов находят, как правило, по таблицам. Ненулевые начальные условия учитывают введением дополнительных источников ЭДС (внутренних ЭДС). Полученную операторную схему рассчитывают по законам Кирхгофа в операторной форме или любым другим методом, используемым при расчете цепей постоянного тока.

Последовательность расчета операторным методом

Расчет переходных процессов в сложных цепях операторным методом состоит из двух основных этапов:

1) составления изображения искомой функции времени.

Для этого записываются законы Кирхгофа и соответствующая им алгебраическая система уравнений для изобра­жений. При этом необходимо учесть ненулевые начальные условия. Решение си­стемы дает изображения искомых токов и напряжений. Эти изображения имеют вид рацио­нальных дробей.

2) переход от изображения к функции времени.

Для перехода от изображений к оригиналам можно использовать таблицы, приведенные в справочниках или, в случае сложного вида функции воспользоваться теоремой разложения.

Теорема разложения

В большинстве случаев изображение представляет собой правильную дробь:

,

у которой .

Если полином  не имеет кратных корней, то такая дробь может быть разложена на простые дроби:

,

- корни уравнения , коэффициенты A_k:

Тогда для оригиналов можно записать следующее выражение:

Это и есть теорема разложения, позволяющая по изоб­ражению в виде рациональной дроби найти оригинал. Если при этом один из корней равен нулю, соответ­ствующая показательная функция превращается в постоянную вели­чину.