В соответствии с основным законом для вращательного движения

 

M = J_z e ,                                                      (18)

 

где М = Т^/× r – модуль момента сил, действующих на маятник (силами трения пренебрегаем); J_z – момент инерции маятника относительно оси вращения Oz;  - угловое ускорение, r – радиус шкива.

Из этих соотношений находим момент инерции маятника:

                       (19)

3. Определим изменение момента инерции в результате укорочения стержней и удаления грузов т_гр: D J = J_z - J ^/ _z .

Представим начальный момент инерции маятника J_z в виде суммы:

где J₀ – момент инерции шкива (не изменяется); – момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов; – момент инерции каждого груза т_гр, находящегося на конце стержня, т. е. на расстоянии l от оси вращения.

Аналогично, конечный момент инерции маятника равен:

т. к. стержни укоротили в три раза,  а грузы т_гр убрали.

Следовательно:

(20)

 

Произведем вычисления по формулам (19) и (20):

кг×м²

кг×м².

Ответ. Момент инерции маятника Обербека равен J_z = 0,1 кг×м², а его изменение кг×м².

 

Пример 12*. Сплошная алюминиевая балка прямоугольного сечения со сторонами а = 5 см и b = 20 см опирается на два упора, расстояние между которыми равно l = 2 м (рис. 1.4). Посередине балки положили груз массой m = 500 кг. Определить величину прогиба балки l, если модуль упругости алюминия равен Е = 70 ГПа.

 

Дано:   т = 500 кг а = 5 см  b = 20 см l = 2 м т = 50 кг Е = 70 ГПа	В единицах СИ:   а = 0,05 м b = 0,2 м   Е = 70×109 Н/м2	l                                      l                                        b                        Р
Найти: l		Рис. 1.4

 

Для нахождения величины прогиба (стрелы прогиба) l применим формулу для модуля упругости при деформации изгиба тел прямоугольного сечения в виде:

                                          (20)

где Р – сила, вызывающая деформацию (изгиб); l - величина деформации (стрела прогиба); l – длина тела, а – ширина поперечного сечения тела; b – высота поперечного сечения тела.

 

Из формулы (20) находим:

                                             (21)

Подставив в формулу (21) выражение для силы, вызывающей деформацию, в виде:

 

Р = mg ,

27                                                                                                                                  28

окончательно получим:

 

                                              (22)

Произведем вычисления по формуле (22):

 = 5,6×10^-3м = 5,6 мм.

 

Ответ. Стрела прогиба балки составит 5,6 мм.

Пример 13*. В высокий широкий сосуд налит глицерин (плотность r _гл = 1,26×10³ кг/м³, вязкость h = 0,35 Па×с). Непосредственно над поверхностью глицерина удерживают свинцовый шарик радиуса r = 1,0 мм, который затем отпускают без толчка. Плотность шарика r _св = 11,3×10³ кг/м³. Высота жидкости в сосуде h = 0,5 м.

1. Определить силу сопротивления движению шарика.

2. Найти скорость установившегося равномерного движения шарика.

 

Рис. 1.5

	Дано:   rгл = 1,26×103 кг/м3 h = 0,35 Па×с r = 1,0 мм rсв = 11,3×103 кг/м3	В единицах СИ:   r = 1×10-3 м	v               F А    v0                FСт              mg S                                                          S          а                               б
Найти: 1. FСт; 2. v 0

 

1. На свинцовый шарик малого размера, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы (рис. 1.5 а): сила тяжести P = m g = r _св , Vg = 4/3 p r ³ r _св g (r – радиус шарика, r_св – плотность шарика), сила Архимеда F _A = 4/3 p r ³ r _гл g (r_гл – плотность жидкости) и сила сопротивления жидкости:

 

F _Ст = 6 p h rv ,                                                (23)

 

эмпирически установленная Стоксом, направленная против движения шарика. График зависимости скорости шарика от пройденного им пути будет иметь вид, показанный на рис. 1.5 б.

При установившемся равномерном движении шарика результирующая всех сил равна нулю и скорость движения постоянна, т. е.:

 

P = F_A + F_Ст.                                              (24)

 

или                                  4/3pr³r_свg = 4/3pr³r_глg + F_Ст,                                  (25)

 

откуда                                   F_Ст = 4/3pr³(r_св - r_гл)g.                                       (26)

 

Произведем вычисления по формуле (26):

 

F_Ст = 4/3×3,14×1×10^-9×(11,3×10³ - 1,26×10³)×9,81 = 1,31×10^-4Н (м³× ).

 

2. Скорость установившегося равномерного движения шарика найдем из соотношения (26), подставив в него выражение (23) для силы Стокса:

 

6phrv₀ = 4/3pr³(r_св - r_гл)g,

 

откуда                                                                           (27)

 

Произведем вычисления по формуле (27):

и проверим размерность .

 

Ответ.1. Сила сопротивления жидкости равна F_Ст = 1,31×10^-4 Н;

 2. Скорость равномерного движения шарика v₀ = 6,25×10^-2м/с.

К началу

	29                                                                                                                                  30

Варианты задач