Момент инерции материальной точки

Раздел 1.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ.

ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ

ДИНАМИКИ

 

	1                                                                                                                                    2

Основные формулы

Радиус-вектор, определяющий положение материальной точки в пространстве, и его модуль

 

r = xi + yj + zk ,

 

где x, y, z – координаты точки; i, j, k – единичные векторы, направленные по осям прямоугольной системы координат.

 

Кинематическое уравнение движения материальной точки

 

r ( t ) = xi + yj + zk ,

 

где x = f₁(t), y = f₂(t), z = f₃(t) - функции, выражающие зависимость координат точки от времени t.

 

Средняя скорость

< v > =  ,

где Dr - вектор перемещения.

 

Мгновенная скорость и ее модуль

,

 

 

Среднее ускорение

<a> =       .

 

Мгновенное ускорение и его модуль

,

 

Ускорение при криволинейном движении:

- тангенциальное

;

- нормальное

;

- полное

,

 

где R - радиус кривизны траектории; n - единичный вектор нормали к траектории; t - единичный вектор, направленный по касательной к траектории.

 

Средняя угловая скорость

3                                                                                                                                    4

,

где j = j(t) - вектор угла вращения абсолютно твердого тела, направленный вдоль оси вращения.

 

Мгновенная угловая скорость

.

Угловое ускорение

.

Связь между линейными и угловыми величинами

s = j R ,                               v = w R ,

a _t = e R ,                  a_n = w ² R .

 

Импульс (количество движения) материальной точки

 

p = mv .

 

Основное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона)

Виды сил:

– сила гравитационного взаимодействия

,

 

где g - гравитационная постоянная; m₁ и m₂ - взаимодействующие массы; r - расстояние между ними;

– сила тяжести

P = mg ,

 

где g - ускорение свободного падения;

 

– сила упругости

F = - kx ,

где k - коэффициент упругости (жесткость); x - абсолютная деформация.

 

– сила трения

F _тр = kN ,

 

где k - коэффициент трения; N - сила нормального давления.

 

Работа, совершаемая переменной силой

.

Мощность

Кинетическая энергия тела при поступательном движении

.

Потенциальная энергия:

– упругодеформированной пружины (стержня)

	5                                                                                                                                    6

;

– гравитационного взаимодействия двух масс

;

– тела, находящегося в однородном поле силы тяжести вблизи поверхности Земли

П = mgh ,

 

где h - расстояние между телом и поверхностью Земли.

 

Закон сохранения механической энергии в замкнутой системе из n материальных тел, между которыми действуют консервативные силы

 

 

Закон сохранения импульса для изолированной системы материальных тел

 

 

где n – число материальных тел; m_i - их массы.

 

Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси вращения z

 

M_z = J_z e ,

 

где M_z – результирующий момент внешних сил; действующих на тело относительно оси z; J_z – момент инерции тела относительно оси вращения; e - угловое ускорение.

 

Момент инерции материальной точки

 

J = mr ² ,

 

где m - масса материальной точки; r -расстояние от точки до оси вращения.

 

Момент инерции:

– однородного шара радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр шара)

 

;

– сплошного цилиндра или диска радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости основания)

 

;

– тонкого обруча или кольца радиусом R и массы m (если ось вращения проходит через центр масс перпендикулярно плоскости обруча)

J_z = mR ² ;

 

– однородного тонкого стержня длиной l и массы m (если ось вращения проходит через центр масс стержня перпендикулярно стержню)

7                                                                                                                                    8

;

– однородного тонкого стержня длиной l и массы m (если ось вращения проходит через конец стержня перпендикулярно стержню)

 

.