Момент инерции тела массы m относительно неподвижной оси, не проходящей через центр масс и параллельной оси z

 

J = J_z + ma ² ,

 

где J_z - момент инерции тела относительно оси z; проходящей через центр масс;    a - расстояние между осями.

 

Момент силы

 

М = r × F .

Момент импульса тела

 

L = J × w .

 

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

.

 

Проекция момента импульса тела на неподвижную ось вращения

L_z = J_z × w .

Закон сохранения

– момента импульса для изолированной системы твердых тел

;

 

– момента импульса для изолированной системы твердых тел относительно неподвижной оси вращения z

 

.

 

Работа постоянного момента внешних сил при вращении твердого тела

A = M_z j ,

 

где j - угол поворота.

 

Мощность, развиваемая моментом внешних сил

.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z

 или .

 

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

	9                                                                                                                               10

x = Acos( w t+ j _o )

{x = Asin( w t+ j _o )},

 

где x - смещение колеблющейся точки от положения равновесия; A – амплитуда; w - круговая (циклическая) частота; j_o - начальная фаза колебаний.

 

Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания

 

= -A w sin( w t+ j _o )

{v = A w cos( w t+ j _o )}.

 

Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания

= -A w ² cos( w t+ j _o )

{a = -A w ² sin( w t+ j _o )}.

Динамическое уравнение гармонических колебаний

 

 или

где .

Полная механическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

.

 

Период колебаний маятника:

 

– пружинного

– математического

– физического

 

где J - момент инерции маятника; a - расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

 

Уравнение затухающих колебаний

 или ,

 

где r - коэффициент сопротивления среды; d = 2r/m - коэффициент затухания; w - частота затухающих колебаний.

 

Решение уравнения затухающих колебаний

 

x = A_oe^{- d t} cos( w t + j _o ),

 

где A_oe^-dt - амплитуда затухающих колебаний; - частота затухающих колебаний; w_о - частота собственных колебаний.

 

Логарифмический декремент затухающих колебаний

11                                                                                                                                  12

 

где Т - период колебаний.

 

Уравнение вынужденных колебаний

или

 

где F_ocoswt - внешняя сила, вызывающая вынужденные колебания.

Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе

 

.

Частота вынужденных колебаний при резонансе

.

 

Релятивистская длина стержня в направлении движения со скоростью v

 или _,

 

где l_o - длина стержня в состоянии покоя (v = 0); с - скорость распространения света в вакууме; b = v/c.

 

Релятивистская масса в зависимости от скорости движения

 или

Релятивистское изменение времени

 

где Dt_o - собственное время, измеренное в состоянии покоя.

 

Релятивистский импульс частицы

Энергия покоя частицы

 

E_o = m_oc ² .

 

Полная энергия релятивистской частицы

Кинетическая энергия релятивистской частицы

.