Геометрия поверхностей в евклидовом пространстве

Вопросы теории

1 Касательная плоскость к поверхности.

2 Нормаль к поверхности.

3 Первая квадратичная форма поверхности. Задачи.

4 Вторая квадратичная форма поверхности.

5 Кривизна линий на поверхности.

6 Формула Эйлера. Главные направления, главные кривизны, полная и средняя кривизны поверхности.

7 Типы точек поверхности

Касательная плоскость поверхности

Если гладкая поверхность  заданы вектором уравнением или параметрическими уравнениями, то уравнение касательной плоскости поверхности в точке  или  (2)

Если поверхность  задана уравнением, то уравнение касательной плоскости этой поверхности в точке  имеет вид:

Нормалью поверхности  в точке  называется прямая, проходящая через точку  перпендикулярно касательной плоскости в точке .

Задача: Написать уравнение касательной плоскости и нормали в точке  поверхности

Решение: Пусть - векторное уравнение поверхности, тогда.,  Отсюда  Найдем точку касания  как решение системы уравнений:

Решая ее, находим  Тогда   и уравнение (2) касательной плоскости имеет вид:  

Упрощая это уравнение, получим  Вектор нормали  касательной плоскости  является направляющим вектором нормали в точке  Поэтому уравнение нормали имеют вид:

Ответ:

Первая квадратичная форма поверхности.

Пусть  - гладкая поверхность,  - векторное уравнение . Квадратичная форма  называется первой квадратичной формой поверхности . Для коэффициентов первой квадратичной формулы введем обозначения:  Таким образом,

1 Пусть - кривая на поверхности , задана уравнениями Тогда выражение длины дуги кривой с концами в точках дается формулой

2 Если - кривые, лежащие на поверхности , то углом между  в их общей точке  называется угол  между касательными к этим кривым, проведенным через точку P.

Пусть  и  - уравнения кривых  на поверхности , заданной уравнением .

Обозначим дифференцирование по  и  вдоль кривых  через  и , тогда .

3 Пусть  - гладкая поверхность, S- ее площадь, тогда

Задача: Дана поверхность

1 Найти первую квадратичную формулу

2 Вычислить дифференциал длины дуги для линий  заданных уравнениями

3 Вычислить длину дуги линии  между точками ее пресечения с линиями

Решение: Векторное уравнение поверхности ; в данной задаче  

1 Отсюда  Следовательно,

Первая квадратичная форма поверхности  имеет вид:

2 Так как  то  Уравнение линии  Вдоль

Следовательно,

Совершенно аналогично находится дифференциал дуги для линии

Уравнение линии  значит  Поэтому

3