Соприкасающаяся плоскость кривой. Длина дуги кривой.

Спецглавы геометрии

 

Методические указания к практическим занятиям

и самостоятельной работе

для студентов направления подготовки 44.03.01

 

 

Курган 2017

Кафедра: «Фундаментальной математики и методики преподавания математики»

 

Дисциплины:   «Спецглавы геометрии»

                         (направление 440301.62 «Математическое образование»)

 

Составили: канд. физ.-мат. наук О.Н. Хмеляр

 

Утверждены на заседании кафедры «19» октября 2017 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………...4

Раздел 1 Дифференциальная геометрия..……………………………………….…5

Тема 1 Дифференциальная геометрия.…………………………………………….5

1 Геометрия кривых в евклидовом пространстве ………………………………...5

2 Геометрия поверхностей в евклидовом пространстве ..……………………….11

Список литературы.................................................................................................15

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие составлено в соответствии с программой дисциплины «Спецглавы геометрии» и предназначено для студентов направления Педагогическое образование «Математическое образование».

Здесь представлены все темы, которые выносятся на практические занятия и самостоятельную работу студентов. Для каждой темы указаны вопросы для повторения и задачи для решения. Также приведены основные теоретические положения и образцы решения типовых задач. По усмотрению преподавателя из раздела «Упражнения для решения» отбираются задачи для решения в аудитории и для самостоятельной работы студентов.

Раздел 1 Дифференциальная геометрия

Тема 1 Дифференциальная геометрия

Геометрия кривых в евклидовом пространстве

Вопросы теории

1. Вектор – функция скалярного аргумента.

2.  Регулярные кривые.

3.  Касательная к кривой.

4. Нормальная плоскость к линии.

5. Длина дуги. Натуральный параметр.

6. Кривизна кривой. Репер Френе.

7. Формулы Френе.

8. Кручение кривой.

9. Кривизна и кручение в произвольной параметризации.

Вектор-функция скалярного аргумента

Пусть   - множество точек на прямой, плоскости или в пространстве. Говорят, что на множестве  задана вектор-функция, если с каждой его точкой M сопоставлен вектор . Если  - множество точек  на прямой, то вектор-функция  , заданная на U , является вектор-функцией одного скалярного аргумента:

Определение: Пределом вектор-функции  при  называется вектор , для которого

Определение: Вектор-функция называется непрерывной при , если

Определение: Производной вектор-функции  в точке  называется предел  (если существует).

Задача: Доказать, что если  то

Решение: По условию задачи  Отсюда и из неравенcтва  вытекает, что

 

Касательная к кривой

Если  векторное уравнение кривой , то уравнение касательной прямой в точке  

Если кривая задана уравнениями  то уравнение касательной прямой в точке

Если плоская кривая  задана уравнением то уравнение касательной прямой в точке

Задача: Составить уравнение касательной и нормали к линии  в точке

Решение: Если плоская кривая задана уравнением то уравнение касательной прямой в точке  кривой имеет вид

Применительно к нашей задаче получим  и, тогда уравнение касательной примет вид .

Направляющий вектор нормали кривой в точке  перпендикулярен направляющему вектору  касательной, поэтому можно положить  Воспользовавшись уравнением прямой с заданным направляющим вектором и походящей через заданную точку, получим  - уравнение нормали кривой в точке

Ответ: , .

 

Соприкасающаяся плоскость кривой. Длина дуги кривой.

Если кривая  задана уравнением  или уравнениями  то уравнение соприкасающейся плоскости в точке  имеет вид:

 или    (1)

Определение: Главная нормаль кривой – нормаль кривой, лежащая в соприкасающейся плоскости. Бинормаль кривой - нормаль кривой, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.

Если кривая  задана уравнением  или параметрическими уравнениями , то длина дуги кривой  определяется  или  

Задача: Найти длину дуги винтовой линии  от точки пересечения с плоскостью  до произвольной точки .

Решение: Точка  пересечения винтовой линии с плоскостью определяется из ее уравнения при  то есть Поэтому находим длину дуги линии

Ответ:

Задача: Составить уравнение соприкасающейся плоскости, бинормали и главной нормали линии  в точке

Решение: Пусть - уравнение линии в векторной форме, тогда  отсюда

Тогда уравнение (1) соприкасающейся плоскости примет вид:  

Упрощая, получим искомое уравнение  
Вектор нормали соприкасающейся плоскости  является направляющим вектором бинормали. Из условия прохождения бинормали через точку  получим уравнение бинормали:  Из определения главной нормали вытекает, что ее направляющий вектор  ортогонален направляющим векторам бинормали  и касательной  Поэтому можно положить, что

Уравнение главной нормали примет вид:  или .

Ответ: