Упражнения для решения

1 Доказать, что если  то имеют место формулы

а)

б)

в)

г)

2 Доказать, что если функция  и  дифференцируемы, то имеют место следующие формулы

3 Доказать, что если производная вектор-функции  равна  при всех  из некоторого промежутка, то – постоянный вектор) в этом промежутке. Верное ли обратное утверждение?

4 Доказать, что  где

5 Доказать, что если в некотором интервале  то и  ортогональны. Выяснить геометрический смысл этого утверждения.

6 Для вектор-функции  найти значение , при котором линейное отображение  переводит число 2 в вектор (4,8,2).

7  Найти производную вектор-функции

8 Пусть дана линия . Проверить лежат ли на ней точки . Найти точки пересечения линии с осями координат. Найти точку линии с минимальной ординатой. Записать неявное уравнение линии. 

9  Кривая задана уравнением Написать параметрическое и векторное уравнение кривой.

10  Составить уравнение касательной и нормали к линиям:

а) (эллипс)

б)  (гипербола) в произвольной точке.

11 Составить уравнение касательной и нормали к линии  в точках с абсциссами -1,0,1.

12 В каких точках касательная к линии параллельна к плоскости ?

13 Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости винтовой линии  в точке

14 Показать, что нормальные плоскости линии  проходят через начало координат.

15 Найти касательную к параболе параллельную прямой

16 В какой точке касательная к параболе  перпендикулярна прямой ?

17 Составить уравнение касательной и нормали к линии  в точке .

18 Найти геометрическое место точек пересечения касательных к линии  с плоскостью  

19 Найти длину отрезка , параболы

20 Найти длину окружности радиуса R.

21 Найти длину отрезка  циклоиды

22 Найти длину дуги линии  между плоскостями  (указание: записать уравнение кривой в параметрической форме).

23 Составить уравнение главной нормали и бинормали следующих линий в указанных точках

а)  при

б)   при

в)  в точке M(1,1,1);

г)  в точке M(1,1,1).

24 Вычислить длину дуги между точками  кривой

25 Составить уравнение главной нормали и бинормали линии  в точке

26 Найти точки на линии  в которых бинормаль параллельна плоскости

27 Найдите кривизну и кручение для заданной параметризованной пространственной кривой

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

28 Найти кривизну и кручение следующих линий:

а) - винтовая линия;

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

29 Найдите для заданной параметризованной кривой уравнение касательной, соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали, репер Френе в заданной точке  длину дуги а если кривая является замкнутой – длину всего образа.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

30 Найти точки на линии  в которых кривизна имеет минимальное значение (локальное).

31 Вывести формулы для вычисления кривизны и кручения линии, заданной уравнениями