Момент инерции цилиндра относительно его осей

Пусть радиус цилиндра равен R, а его масса М, высота Н. Построим цилиндрическую трубку радиуса r  высотой Н толщиной dr и 

 (рис.2.10 а).

За элемент массы dm возьмем массу этой трубки. Объем трубки равен (рис. 2.10, б), а ее масса ,  - плотность. Объем всего цилиндра . Следовательно,

.

Тогда

.   (2.20)

Пример. Физический маятник, изображенный на рис. 2.11, состоит из тонкого однородного стержня длиной L и массой  и круглого однородного диска радиусом R и массой . Определить момент инерции  маятника, относительно оси его вращения О z (ось О z направлена перпендикулярно к плоскости рисунка).

Решение. Маятник состоит из двух тел: стержня (1) и диска (2).

 Поэтому       

                    ,

где  и  - моменты инерции относительно оси О z соответствующих тел.

Момент инерции стержня  

,

а момент инерции диска найдем по формуле (2.12):

.

Здесь J_ZC - момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр C, параллельной оси О z , а  - расстояние от центра диска до оси О z .

Вычислим момент инерции маятника:

.

Перечислим свойства момента инерции плоской фигуры относительно оси z, направленной перпендикулярно к плоскости фигуры (плоскости xoy).

· Момент инерции равен

,

где r - плотность; А - площадь плоской фигуры.

· Если тело состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой составной части известен относительно одной оси z, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей:

.

· равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс:

.

· Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к плоской фигуры, равен сумме моментов инерции относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью:

Обычно моменты инерции твердых тел вычисляются интегрированием сравнительно легко только в том случае, когда эти тела однородные и имеют правильную геометрическую форму. В случае же неоднородных тел и тел, имеющих сложные очертания, моменты инерции надежнее и проще определять экспериментально с помощью соответствующих приборов. Один из таких методов рассмотрен в лекции 3.

Моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих постоянную плотность ρ, см. в таблице.

Таблица

Фигура	Ось z	ρ
Тонкий стержень длиной L (рис.2.7)	Проходит через центр С, перпендикулярно стержню		.
Прямоугольник со сторонами L и H (рис.2.8)	Проходит через центр параллельно стороне H		.
Прямоугольник со сторонами L и H (рис.2.8)	Проходит через центр, перпендикулярно к плоскости
Диск радиуса R (рис.2.9)	Проходит через центр, перпендикулярно плоскости		.
Круговой цилиндр радиусом R, длиной H (рис.2.10)	Проходит через центр параллельно H		.
Круговой цилиндр радиусом R, длиной H (рис.2.10)	Проходит через центр перпендикулярно H