Моменты инерции относительно точки и оси

Центр масс

При рассмотрении движения твердых тел и механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Техника вычисления центра масс, как и моментов инерции, относится к области курсов математики; там подобные задачи служат хорошими примерами по интегральному исчислению. Напомним основные положения.

Если механическая система состоит из конечного числа материальных точек N с массами , радиус-векторы которых проведены из одной и той же точки О –  (рис. 2.1), то центром масс называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой  определяется выражением

,                                     (2.1)

где  - масса всей системы. Обозначая декартовы координаты материальных точек , … , из (2.1) проецированием на декартовы оси координат получим следующие формулы для координат центра масс:

    (2.2)

Если механическая система представляет собой твердое тело, то формулы (2.1) и (2.2) принимают вид

,

,        (2.3)

где  – масса тела. Интегрирование ведется по всему объему тела.

Для плоского тела в формулах (2.2) и (2.3) =0, dm = r dA , A – площадь тела, интегрирование ведется по площади.

Моменты инерции твердого тела

Движение тел существенным образом зависит от характера распределения масс. Например, балерина, группируясь в танце, увеличивает или уменьшает угловую скорость своего вращения. Положение центра масс не характеризует распределение масс. Поэтому при изучении динамики механических систем точек и при изучении динамики твердого тела, вводится еще одна характеристика - момент инерции системы материальных точек и момент инерции твердого тела.

Моменты инерции относительно точки и оси

Моментом инерции системы материальных точек массой m _К относительно точки О, состоящей из N точек, называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний  до точки О (рис. 2.2), т.е.

          (2.4)

Моменты инерции относительно точки часто называют полярным моментом инерции.

 Момент инерции твердого тела относительно точки О будет определятся следующим выражением:

    ,                                                          (2.5)

где dm – масса элементарной частицы тела, принимаемой в пределе за точку;

а – расстояние частиц тела до точки О. Интегрирование ведется по всему объему.

Моментом инерции  системы материальных точек относительно оси  называется сумма произведений масс этих точек на квадраты их расстояний  до оси  (рис. 2.2):

                    (2.6)

В случае твердого тела сумму следует заменить интегралом:

.                                    (2.7)

Здесь , где  – плотность тела, V – объем тела. Моменты инерции одинаковых по форме тел, изготовленных из различных материалов, отличаются друг от друга.

 Характеристикой, не зависящей от массы тела, является радиус инерции. Радиус инерции  относительно оси  определяется равенством:

.                                   (2.8)

Тогда момент инерции относительно оси можно определить по формуле

.                                        (2.9)

Из равенства (2.9) следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси  той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела относительно оси .