Теорема Гюйгенса-Штейнера

Существует простая связь между моментами инерции тела относительно параллельных осей (теорема Гюйгенса-Штейнера), одна из которых проходит через центр масс.

Теорема. Момент инерции тела  относительно некоторой оси  равен сумме момента инерции  тела относительно оси , проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояний между осями:

,                        (2.13)

где М – масса тела, d – расстояние между двумя параллельными осями.

Пусть оси  и  параллельны, причем ось  проходит через точку С – центр масс тела.

Возьмем начало координат в точке С, совместим ось zс осью , а ось у направим так, чтобы она пересекала оси  и  (рис. 2.5).

  Рис.2.5                               Выделим в теле произвольный элемент массой dm и опустим из него перпендикуляры на оси z и , обозначив их соответственно h и . Согласно определению осевых моментов инерции моментов (2.7), будем иметь

.

По теореме косинусов (рис.2.5) найдем , однако , где у – координата элемента, тогда

.

Подставим полученное выражение  в формулу (2.13), определяющую момент инерции :

.

Первый интеграл равен  по определению, второй – массе тела М, а третий – нулю: , поскольку начало координат совпадает с центром масс. Следовательно,

.

Эта формула широко используется в практических расчетах при определении моментов инерции тел относительно осей, не проходящих через центр масс. Применяя метод разбиения, с помощью этой формулы можно определять осевые моменты инерции тел сложной формы.

Установим формулы для центробежных моментов инерции, аналогичные (2.13). Рассмотрим две системы координат с взаимно параллельными осями  и С xyz , где С-центр масс тела (рис. 2.6). Обозначим через a , b , c координаты точки С в системе Тогда формулы перехода от одной системы координат к другой будут иметь вид

Рис. 2.6

По определению центробежных моментов инерции имеем

или, раскрывая скобки, группируя члены и вынося постоянные множители за знак интеграла,

Первый интеграл равен массе тела М, второй и третий равны нулю (они соответственно определяют положение центров тяжести ), а последний равен  по определению. Таким образом, имеем (две другие формулы получены аналогично)

    (2.14)

Моменты инерции простейших однородных тел

Получим формулы для вычисления моментов инерции некоторых простых тел.

Однородный стержень

Имеем однородный стержень длиной L и массой М. Вычислим момент

инерции стержня относительно оси С z, проходящей через центр масс стержня и перпендикулярной к нему (рис. 2.7).

Для этого нужно просуммировать все массы, умноженные на квадраты расстояния x до оси Cz . Тогда, согласно(2.7), имеем

.

Если разделить стержень на отрезки длиной dx , то соответствующий элемент массы будет пропорционален dx ( dm ~ dx), а если бы dx составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна М ( M ~L). Поэтому

Вычисляя интеграл, получаем

.

Таким образом,

.                        (2.15)

Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины (кг м²), так что единственная величина, которую мы вычислили, это множитель .

Момент инерции стержня относительно оси , проходящей перпендикулярно стержню через его конец, параллельно z С, определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:

, где .

Следовательно,                .