Теоретические сведения

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную x;
2) зависимую переменную y (функцию);
3) первую производную функции y ‘ .

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1 Решить дифференциальное уравнение

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем обозначение производной:

Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:
На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы dy и dx – это полноправные множители.

В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
 К любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.

Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. Переписываем производную в нужном виде:
Очевидно, что переменные можно разделить:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем определение логарифма : . В данном случае:
Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
  Если – это константа, то – тоже некоторая константа, которую обозначим через букву : 
Итак, общее решение: .

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

 В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:


  То есть,     

В общее решение подставляем найденное значение константы:
– это и есть нужное нам частное решение.

Задание

1.Решить дифференциальные уравнения с разделёнными переменными.

1.	3.	5.
2.	4.	6.

2 Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

1.	6.	11.
2.	7.	12.
3.	8.	13.
4.	9.	14.
5.	10.	15.

3.Найти частное решение дифференциального уравнения (задача Коши).

1.

2.

3.

4.

5.