Операции над множествами

Из элементов двух множеств можно образовывать новые множества. Пусть даны два множества: А={2,4,6,8} и B ={5,6,7,8,9}.Образуем множество С, в которое включим общие элементы множеств А и В, т.е. С={6,8}. Так полученное множество С называют пересечением множеств А и В.

Определение. Пересечением множеств А и В называют множество содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение множеств А и В обозначают . Таким образом по определению получаем

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является заштрихованная область.

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов говорят, что их пересечение пусто и пишут: =  .

В

                                                  

                                               А                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                                 

             

                                                                                              Рис.14     

Пусть даны два множества А={2,4,6,8} и B ={5,6,7,8,9}. Образуем множество D, в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В: D={2,4,6,8,5,7,9}. Так полученное множество D называют объединением множеств А и В.

Определение.Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают . Таким образом, по определению, ={x │x .

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью.                                

                                                      А                             В

                                                                   Рис.15

Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.

Опр. Разностью множеств А и В  называется множество , содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А\В. Тогда, по определению, имеем :

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого , при этом разность множеств А\В называют дополнением множества В до множества А , и обозначают символом В/А, а наглядно изображают так,                    как представлено на рисунке.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность А\В изобразится заштрихованной областью.

 

А\В

А                                          В

 

АВ

Определение. Пусть . Дополнением множества В до множества А, называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В. Как уже было сказано, в случае когда  , А\В= В/А.

В

         Рис.16

В/А

А

Из определения следует, что В^/_А=

Пример. Найти разность множеств А и В, если А={1,2,3,4,5,6} , B={2,4,6,8,10}.

Решение : А\В={1,3,5} , B\A={8,10}.

Тест: