Коэ ффициент корреляции

Связь между величинами Х и Y характеризуется корреляционным моментом. Если он равен нулю, то X и Y - независимы, иначе – зависимы.

Определение. Корреляционным моментом  случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

     (52)

                  (53)

         Определение. Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

                 (54)

Теорема: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы. 

          (55)

       Коэффициент корреляции характеризует степень зависимости, причём не любой зависимости, а только линейной.

Если , то  причем  и . Чем ближе  к нулю, тем сильнее отклоняется зависимость между составляющими от линейной зависимости.

     Для непрерывных величин X и Y корреляционный момент может быть найден по формуле:

            (56)

     Коррелированными называются две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля. Некоррелированными называются две случайные величины, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Обратное не всегда верно.

        Положительная корреляция  означает, что при возрастании одной из случайных величин, другая, в среднем, имеет тенденцию возрастать.

        Отрицательная корреляция   означает,  что при возрастании одной из случайных величин, другая, в среднем, имеет тенденцию убывать.

Если (X, Y) – двумерная случайная  величина, где X и Y зависимы, то возможно приближенное представление величины Y в виде линейной функции величины X (или X  в виде линейной величины Y).

где а и b, с и d – параметры, обычно определяемые по методу наименьших квадратов.

Линейной средней квадратической регрессией Y на X и X на Y называются функции вида:

                  (57)

                    (58)

Поскольку эти зависимости являются приближенными, то существует погрешность этого приближения, называемая остаточной дисперсией

              (59)

Пример 14

Найти корреляционный момент и коэффициент корреляции случайных величин X и Y по распределению системы (X, Y), заданной таблицей 17. Найти Yx и Xy, изобразить их графически, а так же найти  и .

Таблица 17 – Закон распределения системы (X, Y) к примеру 14.

Составим безусловные законы распределения по формулам (38).

Таблица 18– Безусловное распределение составляющей X к примеру 14.

Для определения коэффициента корреляции найдем математические ожидания и средние квадратические отклонения составляющих системы (Х, У).

Для этого применяем формулы (48) и (50).

;                      .

;    .

Таблица 19 – Безусловное распределение составляющей Y к примеру 14.    

; .

Тогда произведение будет равно:

;

; .

Применяя формулы (53) и (54) найдем  и .

.

Составим уравнения линейных средних квадратических регрессий, применяя формулы (57) и (58).

                  .

;              .

-  центр совместного распределения.

Расчет координат:

.

;   ;        тогда .

Рисунок 15 – График уравнений регрессии  и  к примеру 14.