ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

3.1 Основные понятия и вероятностные характеристики

        При решении практических задач часто приходится сталкиваться с задачами, в которых опыт описывается не одной случайной величиной, а несколькими. Совокупность двух случайных величин, рассматриваемых совместно, называется двумерной случайной величиной и обозначается   ( X, Y).

      Случайные величины X, Y называются составляющими этой системы. Если составляющие являются дискретными случайными величинами, то двумерная случайная величина называется дискретной. Если составляющие - непрерывные величины, то и двумерная случайная величина является непрерывной.

Система двух непрерывных случайных величин (X, Y) геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (x, y) на плоскости Х OY.

        Закон распределения дискретной двумерной случайной величины ( X, Y) задаётся в виде таблицы 11, в строках которой указаны возможные значения случайной величины X , а в столбцах – возможные значения  случайной величины Y. На пересечении строк и столбцов указываются соответствующие вероятности , где индексы i и j  изменяются соответственно: i=1,..., n;  j=1,…,m.

Таблица 11 – Закон распределения системы (X, Y)

x y			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

      Для нахождения вероятности  нужно просуммировать все m вероятностей по столбцу k. Аналогично, сложив все n вероятностей по строке k, получим вероятность  

Законы распределения дискретных составляющих определяются равенствами:

                    (38)

Законы вида (38) называют безусловными законам распределения составляющих X, Y.

События  образуют полную группу, следовательно, сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице.

.                            (39)

Определение. Условным законом распределения одной из составляющих, входящих в систему (X, Y), называют её закон распределения, найденный при условии, что другая составляющая случайная величина приняла определённое значение (или попала в какой-то интервал).

Условные законы распределения для дискретных составляющих X и Y определяются равенствами

     (40)

   Функцией распределения F( x, y) системы двух случайных величин ( X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X < x,     Y < y.

F( x, y) = P( X < x, Y< y).                            (41)

Для непрерывной двумерной случайной величины, так же как и для непрерывной одномерной,  вводится понятие плотности распределения вероятностей.

     Плотностью распределения  системы двух непрерывных случайных величин ( X, Y) называется вторая смешанная производная от функции распределения:

                        (42)

     При этом справедливы следующие равенства:

;              (43)

     Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, выражаются через плотность распределения системы формулами:

.    (44)

     Условной плотностью распределения составляющей Х при заданном значении Y= y называется отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y:

                         (45)

      Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y:

                         (46)

     Случайные величины X и Y называются независимыми, если условные плотности распределения величин X и Y равны их безусловным плотностям:

           (47)

Математическим ожиданием дискретной двумерной случайной величины (X, Y) называется совокупность двух математических ожиданий MX и MY, определяемых равенствами:

;       (48)

Для непрерывной двумерной случайной величины (Х, Y) эти равенства имеют вид:

;  .  (49)

Дисперсией системы (X, Y) называют совокупность двух дисперсий DX, DY, определяемых равенством (50) для дискретной системы и равенством (51) для непрерывной двумерной случайной величины.

;  (50)

; (51)

Дисперсии характеризуют разброс случайной точки (X, Y) в направлении осей ОХ и ОУ вокруг точки ( ), являющейся центром рассеяния системы на координатной плоскости ХОУ.

       Пример 13

Закон распределения двумерной случайной величины Х задан таблицей 12.

Таблица 12– Закон распределения для примера 13.

Для данной двумерной случайной величины требуется найти:

а) безусловные законы распределения составляющих;

б) условный закон распределения случайной величины Х в предположении, что Y= = 0,4;

в) условный закон распределения случайной величины Y в предположении, что X= = 5.

Решение

а) Безусловные законы распределения составляющих Х и Y найдем согласно формулам (38):

;                   ;

       ;                  .

.

б) Условные законы распределения составляющих X и Y найдем по формулам (40):

Таблица 15 – Условный закон    Таблица 16 – Условный закон

распределения составляющей X. распределения составляющей Y.