Геометрическое распределение.

Случайная величина Х  имеет геометрическое распределение, если она принимает бесконечное, но счетное множество значений: 0, 1, 2, …т… Вероятности  этих значений находят по формуле:

,         где .            (13)

На практике геометрическое распределение появляется при проведении серии испытаний, в каждом из которых может произойти событие А с вероятностью р. Испытания проводятся до первого появления события А. Случайная величина Х выражает число проведенных испытаний . Распределение в этом случае имеет вид, представленный в таблице 6.

Таблица 6 – Закон распределения вероятностей в случае1.2.4

Х	1	2	3	…	т	…
Р	р	qp		…		…

При этом ;      .           (14)

Пример 3

Предприятие проводит последовательные испытания банкоматов. Каждый следующий банкомат испытывается только в том случае, если предыдущий выдержал испытания. Построить ряд и многоугольник распределения  (ограничиться 5-ю случаями) случайной величины Х – числа испытанных банкоматов, если вероятность выдержать испытание для каждого из них равна 0,95.

Решение

       Если p=0,95, то , Случайная величина Х примет значение , если первый же банкомат не выдержал по каким-либо параметрам испытание. Вероятность этого факта - 0,05. Случайная величина Х примет значение , если первый банкомат выдержал испытание с вероятностью 0,95 и при этом обязательно второй не выдержал испытание с вероятностью 0,05. Тогда . Рассуждая аналогично, получим распределение случайной величины Х, для  случая , представленное в таблице 7.

Таблица 7 – Закон распределения вероятностей в примере 3.

Х	1	2	3	4	5
Р	0,05	=0,047			=0,04

Рисунок 4 – Многоугольник распределения вероятностей в примере 3.

Урезанное геометрическое распределение

Если испытание проводятся до первого появления события А , но не более чем т раз, то имеет место урезанное геометрическое распределение, представленное в таблице 8.

Таблица 8 – Закон распределения вероятностей в случае 1.2.5

Х	1	2	3	…	т
Р	р			…

Вероятности для случая m просчитывают по формуле:  

 .

При этом                     (15)

Пример 4

Некоторая фирма проверяется независимым аудитором. Фирма лишается лицензии при выявлении первого нарушения бухгалтерского баланса. Составить закон и ряд распределения случайной величины Х - числа проверенных балансов, если вероятность нарушения бухгалтерского баланса 0,2 , а для проверки выбирают не более 5. Найти М(X).

Решение

Имеет место урезанное геометрическое распределение, представленное в таблице 9.

Таблица 9 – Закон распределения вероятностей в примере 4

Х	1	2	3	4	5
Р	0,8	0,8 0,2= =0,16	=0,032	=0,0064	=0,0016

.  При этом  = (1 – 0,2⁵)/ 0,8 = 1,25.