Математические модели надёжности комплексов программ

 

Математические модели позволяют оценивать характеристики ошибок в программах и прогнозировать их надёжность при проектировании и эксплуатации. Модели имеют вероятностный характер, и достоверность прогнозов зависит от точности исходных данных и глубины прогнозирования по времени. Эти математические модели предназначены для оценки:

- показателей надёжности комплексов программ в процессе отладки;

- количества ошибок, оставшихся невыявленными;

- времени, необходимого для обнаружения следующей ошибки в функционирующей программе;

- времени, необходимого для выявления всех ошибок с заданной вероятностью.

Использование моделей позволяет эффективно и целеустремлённо проводить отладку и испытания комплексов программ, помогает принять рациональное решение о времени прекращения отладочных работ.

В настоящее время предложен ряд математических моделей, основными из которых являются:

- экспоненциальная модель изменения ошибок в зависимости от времени отладки;

- модель, учитывающая дискретно - понижающуюся частоту появления ошибок как линейную функцию времени тестирования и испытаний;

- модель, базирующаяся на распределении Вейбула;

- модель, основанная на дискретном гипергеометрическом распределении.

При обосновании математических моделей выдвигаются некоторые гипотезы о характере проявления ошибок в комплексе программ. Наиболее обоснованными представляются предположения, на которых базируется первая экспоненциальная модель изменения ошибок в процессе отладки и которые заключаются в следующем:

1. Любые ошибки в программе являются независимыми и проявляются в случайные моменты времени.

2. Время работы между ошибками определяется средним временем выполнения команды на данной ЭВМ и средним числом команд, исполняемым между ошибками. Это означает, что интенсивность проявления ошибок при реальном функционировании программы зависит от среднего быстродействия ЭВМ.

3. Выбор отладочных тестов должен быть представительным и случайным, с тем чтобы исключить концентрацию необнаруженных ошибок для некоторых реальных условий функционирования программы.

4. Ошибка, являющаяся причиной искажения результатов, фиксируется и исправляется после завершения тестирования либо вообще не обнаруживается.

Из этих свойств следует, что при нормальных условиях эксплуатации количество ошибок, проявляющихся в некотором интервале времени, распределено по закону Пуассона. В результате длительность непрерывной работы между искажениями распределена экспоненциально.

Предположим, что в начале отладки комплекса программ при t = 0 в нём содержалось ошибок. После отладки в течении времени t осталось ошибок и устранено n ошибок ( + n = ). При этом время t соответствует длительности исполнения программ на вычислительной системе (ВС) для обнаружения ошибок и не учитывает простои машины, необходимые для анализа результатов и проведения корректировок.

Интенсивность обнаружения ошибок в программе dn/dt и абсолютное количество устранённых ошибок связываются уравнением

 

 (3.13)

 

где k - коэффициент.

Если предположить, что в начале отладки при t = 0 отсутствуют обнаруженные ошибки, то решение уранения (3.13) имеет вид

 

 (3.14)

 

Количество оставшихся ошибок в комплексе программ

 

пропорционально интенсивности обнаружения dn/dt с точностью до коэффициента k.

Время безотказной работы программ до отказа T или наработка на отказ, который рассматривается как обнаруживаемое искажение программ, данных или вычислительного процесса, нарушающее работоспособность, равно величине, обратной интенсивности обнаружения отказов (ошибок):

 

 (3.15)

 

Если учесть, что до начала тестирования в комплексе программ содержалось ошибок и этому соответствовала наработка на отказ , то функцию наработки на отказ от длительности проверок можно представить в следующем виде:

 

 (3.16)

 

Если известны моменты обнаружения ошибок  и каждый раз в эти моменты обнаруживается и достоверно устраняется одна ошибка, то, используя метод максимального правдоподобия, можно получить уравнение для определения значения начального числа ошибок :

 

 (3.17)

 

а также выражение для расчёта коэффициента пропорциональности

 ; (3.18)

 

В результате можно рассчитать число оставшихся в программе ошибок и среднюю наработку на отказ Tср = 1/l , т.е. получить оценку времени до обнаружения следующей ошибки.

В процессе отладки и испытаний программ для повышения наработки на отказ от до  необходимо обнаружить и устранить Dn ошибок. Величина Dn определяется соотношением:

 

; (3.19)

 

Выражение для определения затрат времени Dt на проведение отладки, которые позволяют устранить Dn ошибок и соответственно повысить наработку на отказ от значения до , имеет вид:

 

 (3.20)

 

Вторая модель построена на основе гипотезы о том, что частота проявления ошибок (интенсивность отказов) линейно зависит от времени испытания  между моментами обнаружения последовательных i - й и (i - 1) - й ошибок.

 

, (3.21)

где - начальное количество ошибок; K - коэффициент пропорциональности, обеспечивающий равенство единице площади под кривой вероятности обнаружения ошибок.

Для оценки наработки на отказ получается выражение, соответствующее распределению Релея:

 

 (3.22)

 

где .

Отсюда плотность распределения времени наработки на отказ

 

. (3.23)

 

Использовав функцию максимального правдоподобия, получим оценку для общего количества ошибок и коэффициента K.

 

 (3.24)

 (3.25)

 

Особенностью третьей модели является учёт ступенчатого характера изменения надёжности при устранении очередной ошибки. В качестве основной функции рассматривается распределение времени наработки на отказ P(t). Если ошибки не устраняются, то интенсивность отказов является постоянной, что приводит к экспоненциальной модели для распределения:

 

 

Отсюда плотность распределения наработки на отказ T определяется выражением:

 

 

 

где t > 0, l > 0 и 1/l - среднее время наработки на отказ, т.е. Тср=1/l. Здесь Тср - среднее время наработки на отказ.

Для аппроксимации изменения интенсивности от времени при обнаружении и устранении ошибок используется функция следующего вида:

 

;

 

Если 0 < b < 1, то интенсивность отказов снижается по мере отладки или в процессе эксплуатации. При таком виде функции l(t) плотность функции распределения наработки на отказ описывается двухпараметрическим распределением Вейбулла:

 

.

 

Распределение Вейбулла достаточно хорошо отражает реальные зависимости при расчёте функции наработки на отказ.