Режим облегченного (тёплого) резерва

Рассмотрим случай, когда время безотказной работы всех элементов изделия подчиняется экспоненциальному закону распределения. В этом случае процессы, характеризующие работу изделия являются марковскими. Для определения характеристик надёжности можно использовать математический аппарат теории марковских случайных процессов.

В режиме облегченного резерва резервные элементы находятся в режиме недогрузки до момента их включения в работу. Пусть l1 - интенсивность отказа резервного элемента в режиме недогрузки до момента их включения в работу. l0 - интенсивность отказа резервного элемента в состоянии работы.

Введём в рассмотрение состояния ,

S0 - основной элемент исправен и работает, m резервных элементов исправны и находятся в режиме недогрузки.

S1 - основной элемент отказал, работает 1 - ый резервный элемент, (m - 1) резервные элементы исправны и находятся в режиме недогрузки.

S2 - отказал 1 - ый резервный элемент, работает 2 - ой резервный элемент, (m - 2) резервных элементов исправны и находятся в режиме недогрузки.

Si - отказал i - й резервный элемент, работает i - й резервный элемент, (m - i ) резервных элементов исправны и находятся в режиме недогрузки.

Sm - отказал (m - 1) - ый элемент, работает m - ый резервный элемент.

Sm+1 - отказал m -ый резервный элемент.

Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова. Для этого введём обозначения:

P0(t) - вероятность нахождения резервированной системы в момент времени t в состоянии S0.

Pi(t) - вероятность нахождения резервированной системы в момент времени t в состоянии Si , i = 0, 1, ….., m, m + 1.

;

 ………………………………………………….

………………………………………………….

.

Начальные условия:

.

Применим к системе дифференциальных уравнений Колмогорова преобразование Лапласа. Получим систему линейных алгебраических уравнений вида: Pi(t) - оригинал

Pi(S) - изображение по Лапласу

 i = 0, 1, ……, m +1

…………………………………………….

…………………………………………….

Решая систему уравнений получим

Найдём оригинал . Имеем

где

Здесь - вероятность отказа резервированной системы с облегченным резервированием.

Определим вероятность безотказной работы системы с облегченным резервированием. Имеем:

Определим среднее время безотказной работы системы с облегченным резервированием. Имеем:

Формула бинома Ньютона

где

При a = 1 имеем:

Выполнив преобразование, получим:

 где .

Определим частоту отказов  резервированной системы. Имеем

;

или

Определим интенсивность отказов  резервированной системы. Имеем