Восстановление аналитической функции по её действительной или мнимой части.

Сначала возьмём то же самое , что в недавно сделанной задаче 47, и восстановим

Задача 49. Дано , . Найти  и .

Решение.  Сначала проверим уравнение Лапласа

в сумме 0.

Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется. Поэтому данная  может являться одной из компонент какой-либо комплексной функции. Далее надо вычислить , найдём её в виде потенциала от её градиента:  то есть в виде потенциала векторного поля . Дело в том, что в такой записи можно заменить производные от неизвестной функции  на производные от известной функции  по условиям Коши-Римана. . А первые производные от  уже известны, мы их вычисляли выше в процессе проверки уравнения Лапласа. Как и при вычислении потенциала, в качестве начальной точки как правило, принимаем (0,0) и интегрируем по ломаной.

 =  =  =

 = , а так как начальная точка (0,0) быра взята произвольно, могла быть и иная точка, то надо зхаписать с точностью до константы: .

При этом, если дано , то . Итак,

.

Осталось восстановить функцию . Для этого вспомним, что:  

,

и применим эти выражения в записи .

 =

 =

 =

=  =

=  =

 =

Ответ. .

 

Задача 50. . Найти  и .

Решение.  Проверим уравнение Лапласа.

,   .

Сумма вторых производных равна 0.

Ищем  =  =  = =  =  = .

При произвольном выборе начальной точки, , из условия  определим константу . Если  то , тогда .

 =  =  = . Здесь можно даже не пользоваться формулами , , ведь мы уже сумели получить  в первой скобке, а во 2-й  в обратном порядке и одна с минусом, если домножить и поделить на  , то также удастся получить выражение с .

 =  =  =  = = .     Ответ. .

 

Задача 51. Дано , . Найти  и .

Решение.  Сначала проверим уравнение Лапласа, т.е. что сумма вторых производных равна 0.

,

.

Их сумма равна 0. Уравнение Лапласа выполняется.  =  =

 =  =  =

 = . Но так как начальная точка была взята произвольно, то надо записать в самом общем виде: 

.

При этом константа  должна быть такая, чтобы обеспечивалось равенство , т.е. , т.е. в точке  было , таким образом, должно быть .

.

Итак, .

Осталось восстановить функцию . Для этого вспомним, что:  

,

и применим эти выражения в записи .

 =  =

 =

 =

 =

 =

 = .

Как видим,  здесь в процессе преобразований полностью сократилось. Так и должно было быть, ведь

Ответ. .

Задача 52. . Найти  и .

Решение.  Проверим уравнение Лапласа.

,   .

Сумма вторых производных равна 0.

Ищем  в виде потенциала от её же градиента.

 где заменяем производные от неизвестной функции на производные от известной ( ) по условиям Коши-Римана.

 =  =   

А первые производные от  мы уже считали, когда проверяли уравнение Лапласа, их и используем здесь.

 =  =  = .

Но если бы мы выбрали не (0,0) а другую начальную точку, то могло получиться и выражение с какой-то лишней константой, например если (1,2) то было бы  =  = .

Поэтому мы должны записать самый общий случай:

, а затем уже из условия  определим константу . Если  то , тогда .

Итак, .

Теперь запишем  =  и выразим все  через  в виде , . Если привести подобные, то  сократится. =  =

 =  =  = .

Ответ. .

 

Задача 53. . Найти  и .

Решение.  Сначала проверим уравнение Лапласа.

,

.

Их сумма равна 0, уравнение Лапласа выполняется,  - одна из компонент комплексной функции.

 =  =

далее по ломаной интеграл вида  

 =  =  =

 = .

В общем виде, потенциал равен .

Условие  означает  и сводится к

. 

Тогда .

Итак,  =  = . Далее на примере этой задачи мы увидим, что не обязательно использовать выражения , , можно просто сгруппировать слагаемые так, чтобы свернуть их по формуле Эйлера.

В выражении  надо получить структуру , для этого внутри скобки поделим на  а снаружи домножим.

 =  =  =

 =  = .

Ответ. .