Дифф. уравнения в полных дифференциалах.

Рассмотрим ещё один метод решения дифференциальных уравнений, основанный на использовании потенциала поля. Пусть дано дифференциальное уравнение вида ,

причем . Тогда это уравнение называется «уравнением в полных дифференциалах». Здесь  является потенциальным векторным полем. В этом случае уравнение можно представить в виде , а значит, . Затем остаётся только выразить  через .

Задача 27. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Проверяем тип уравнения. Здесь , . При этом

, ведь , . То есть, векторное поле  потенциально. Ищем потенциал. Соединяем точки (0,0) и  с помощью ломаной, и вычисляем:

 =  = . Итак, . Тогда  общее решение дифф. уравнения.

Ответ. .

 

 

Глава 2. Теория функций комплексного переменного.

Действия над комплексными числами.

Задача 28. Возвести в степень .      

Решение. Чертёж:

Катеты имеют длину  и , поэтому в полярных коорданатах: 

, .

Тогда  в показательной форме, а тогда  =

 =  =   далее раскроем по формуле Эйлера: , но синус и косинус не зависят от добавления и вычитания полного оборота , поэтому получается  =  = . Ответ. .

Задача 29. Вычислить в показательной форме .

Решение.

Для 1-го числа: ,  (та же точка, как в прошлой задаче).

Для 2-го числа: , . Тогда  =  =  =  = , прибавим , для удобства вычисления. Итак,  = .

Ответ. .

Задача 30. Вычислить  . 

Решение. Представим в показательной форме каждое из чисел.

 

 

,   и , . Тогда

 =  =  =  здесь в числителе прибавили угол , кратный , а в знаменателе отняли . Далее,  =  =  =  =  =  = .

Ответ. .

 

Домашняя задача.  Вычислить . Ответ.

 

Задача 31. Вычислить

Решение.  Формула: .

Сначала найдём модуль и аргумент исходного числа.

 (т.к. 90 градусов и ещё 30 во второй четверти),

.

Тогда  =  =  таким образом, 4 точки лежат на окружности, углы 30⁰, 120⁰, 210⁰, 300⁰ (по +90⁰ добавить 4 раза). Отмечены на чертеже зелёным. Здесь 4 корня:

:  =  = .

:  =  = .

:  =  = .

:  =  = .

Чертёж:

 

Ответ.   и .

Задача 32.  Дано . Найти .  

Решение.  =  =  = .

Ответ. .

Задача 33.   Дано . Найти .

Решение.  =  = . Далее с помощью прямоугольного треугольника вычислим . Если надо найти синус и косинус того угла, тангенс которого равен 3, то сначала подпишем длины катетов по известному тангенсу, гипотенуза  вычислится автоматом по теореме Пифагора, а далее будет уже известны синус и косинус.

 =  = .

Ответ. .

Задача 34. Дано . Найти .

Решение.  =  =

 =

 . Делаем аналогично тому, как в прошлой задаче, просто треугольник здесь во 2 четверти (угол  отмеряется от 180 в обратном направлении).

Но гипотенуза всё равно легко вычисляется по теореме Пифагора: , тогда  = .

Ответ. .

Задача 35.  Найти все значения .          

Решение. Используем формулу .

 = . Таким образом, это точки в комплексной плоскости, имеющие вид: , , , ...

Ответ. .

 

Задача 36. Вычислить .

Решение.  = . Последовательность значений такова:  каждая соседняя пара отличается на  по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .

Ответ. .

Задача 37.  Найти все значения .          

Решение. Используем формулу .

Для числа , , . Тогда

.

Чертёж: бесконечная последовательность точек, на уровне абсциссы

, по высоте каждая пара соседних отличается на .

Ответ. .

Задача 38. Вычислить .

Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли

. Тогда  =  =  т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.

Ответ. .