Функции комплексного переменного

Задача 39. Вычислить .

Решение.  Применяем формулу , где аргумент вместо  подставим . Тогда  =  = .

Ответ. .

Заметим, что , то есть модули значений косинуса вне действительной оси не ограничены отрезком .

 

Задача 40. Решить уравнение .

Решение.   .

Введём замену , при этом получаем

. Задача разбивается на 2 шага

1) решим это уравнение и найдём ,

2) учитывая  , запишем  и далее найдём .

Квадратичное уравнение решаем через дискриминант, здесь , тогда . Оба значения  - положительные действительные числа, т.е. им соответствует аргумент .

Далее,  

. Это две бесконечных последовательности точек, одна выше а другая ниже действительной прямой. По горизонтали расстояние между соседними ровно .

 

 

Чертёж:

       Замечание. Если число в правой части уменьшать до 1, то обе эти последовательности сближаются и в итоге соединятся в одну, расположенную на действительной прямой. Это будут в таком случае уже давно знакомые решения равенства , т.е. .

Общий случай. Если  то  , , . Тогда , что при  порождает .

 

В следующей серии задач надо функцию представить в виде , проверить, выполняются ли условия Коши-Римана.

 

Задача 41. Функцию  представить в виде .

Решение.  =  =  =

 =  = .

Поэтому , .

Заметим, что здесь нарушено уже даже 1-е условие Коши-Римана:

, .

Ответ. , .

Задача 42.  представить в виде .

Решение.  =  = , .

Заметим, что условия Коши-Римана не выполнены, даже 1-е:

, .

Ответ. , .

 

Задача 43.  представить в виде .

Решение.    =

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, чтобы сначала шли именно те, в которых нет мнимой единицы , а затем те, в которых она есть.

 =  =

. .

Условия Коши-Римана не выполняются, даже 1-е из них:

. , они противоположны, а должны совпадать.

Ответ. . .

 

Задача 44.  представить в виде .

Решение.    =  =  =

Далее по формуле Эйлера  =  =

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана.

Они совпадают (1-е условие Коши-Римана).

Они противоположны (2-е условие Коши-Римана).

Ответ. , .

Задача 45.  представить в виде .

Решение.    =  =

Домножили на сопряжённое, чтобы в знаменателе получилось некое единое действительное число, а разбиение на Re и Im осталось только в числителе. Тогда дробь можно будет разбить на сумму или разность двух дробей.

 =  = ,

 

, . 

Ответ. , . 

 

Задача 46.  представить в виде .

Решение.  Если , то  =

 =  =   

далее раскроем по формуле Эйлера:

... =  =

воспользуемся чётностью косинуса и нечётностью синуса:

... =  =

 =

 =  ,

это можно ещё записать в таком виде, используя гиперболические синус и косинус: .

Ответ. , .

 

Задача 47.  представить в виде .

Решение.    =  =

 =  = 

 , тогда

, .

Ответ. , .

 

Задача 48.  Для  найти .

Решение.  

Способ 1.

Производная как от единой функции :

 = , что в точке  равно .

Способ 2.

По компонентам  из предыдущей задачи:

 =  = ,

в точке  означает что в , т.е. данные функции надо вычислить в точке . Тогда  = , как и том способе.

Ответ. .