Полярная система координат

Полярная система координат на данной плоскости задается точкой Р, которая называется полюсом, и лучом, выходящим из точки Р, который называется полярным лучом или полярной осью. Любая точка M данной плоскости, отличная от полюса, имеет две координаты. Первая координата r равна длине радиус ектора , вторая и называется полярным расстоянием точки M. Вторая координата равна ориентированному углу j, который образует радиус вектор  с полярной осью. Этот угол называется полярным углом точки M. Отметим, что для полюса Р полярный угол не определен, а полярный радиус равен нулю. То, что точка A имеет полярные координаты r, j обозначаем символом A(r, j).

Полярное расстояние r может меняться в промежутке [0, +¥), а полярный угол - в промежутке (-¥, +¥). Но в этом случае между точками и их координатами нет взаимно однозначного соответствия. Поэтому предполагают, что полярный угол меняется или на промежутке [0,2p) или на (-p, p].

Рассмотрим правую прямоугольную систему координат Oxy, начало O, которой совпадает с полюсом P, ось Ox направлена по полярной оси p (cм. рис. 4.26). Пусть точка A(r, j) имеет полярные координаты r и j. Тогда по определению синуса и косинуса произвольного угла имеем , . Отсюда находим прямоугольные координаты x и y точки A:

, .                           (6.1)

Из формул (6.1) находим формулы

, ,                                    (6.2)

которые выражают полярные координаты r и j точки A через ее прямоугольные координаты x и y.

Цилиндрическая система координат

Цилиндрическая система координат в пространстве задается точкой O, которая называется началом цилиндрической системы координат, лучом l , выходящим из точки O, и вектором n единичной

Пусть дана точка M. Опустим из ее перпендикуляр MM ^¢ на плоскость a. Тогда цилиндрические координаты (r,j,h ) точки M определяются следующим образом: r, j - полярные координаты точки M ^¢ на плоскости a по отношению полюсу O и полярной оси l, h - проекция вектора  на вектор n. Координата r меняется на промежутке [0, +¥), координата j - на промежутке [0,2p) или на (-p, p], координата h - на промежутке (-¥, +¥).

Рассмотрим правую прямоугольную систему координат Oxyz c началом в точке O, ось Ox направлена по оси l ,  направление оси Oz совпадает с направлением вектора n (cм. рис. 4.28). Пусть (r, j , h) - цилиндрические координаты точки A, (x, y , z) - прямоугольные координаты точки A. Как и в предыдущем параграфе находим формулы:

, , z = h                               (7.1)

Из формул (7.1) находим

, h = z , ,                             (7.2)

которые выражают цилиндрические координаты r, j, h точки A через ее прямоугольные координаты x, y , z.