Определение аффинной системы координат.

Геометрия               Толстиков А.В.

Аналитическая геометрия

Семестр 4. Лекции 3. Системы координат. Прямая линия на плоскости

План

1. Аффинные системы координат на плоскости и в пространстве.

2. Основные задачи, решаемые в аффинных системах координат.

3. Формулы преобразования аффинной систем координат

4. Прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве.

5. Основные задачи, решаемые в прямоугольных системах координат.

6. Формулы преобразования прямоугольной системы координат

7. Полярная система координат.

8. Цилиндрическая система координат.

9. Сферическая система координат.

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. 1997.

4. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1980.

Аффинные системы координат

Определение аффинной системы координат.

Определение 1.1. Аффинной или общей декартовой системой координат в пространстве (на плоскости или на прямой) называется точка О пространства (данной плоскости, прямой) и базис v пространства (соответственно плоскости, прямой). Точка О называется началом системы координат.

Принято вектора базиса v откладывать от точки О и совокупность точки и базиса называть репером и обозначать символом (О,v).

 Определение 1.2. Аффинными координатами точки A в данной аффинной системе координат (О, v) называются координаты вектора  относительно базиса v.

Если базис v состоит из n векторов v = (v₁, v₂, ..., v_n), то любая точка A имеет n координат (x₁, x₂,... , x_n), которые записываются в круглых скобках рядом с точкой A(x₁, x₂,... , x_n). Так как однозначно раскладывается по векторам базиса, то координаты любой точки A определяются однозначно.

Обратно, для любого упорядоченного набора действительных чисел (x₁, x₂,... , x_n) существует такая единственная точка A , что вектор = x₁v₁ + x₂v₂ + ...+ x_nv_n. Таким образом, между всеми упорядоченными наборами (x₁, x₂,... , x_n) действительных чисел и точками имеется взаимно однозначное соответствие.

Прямые, проходящие через точку О параллельно векторам базиса, называются координатными прямыми. Каждой координатной прямой принадлежит точка О и вектор выбранного базиса. Поэтому координатная прямая является числовой осью. Плоскости, проходящие через точку О параллельно двум векторам базиса, называются координатными плоскостями.

2. Аффинная система координат на прямой. В случае прямой базис состоит из одного ненулевого вектора v = (v) и система координат (О, v) изображена на рис. 4.1. В системе координат на прямой каждая точка A прямой имеет одну координату A(x), определяему разложением вектора по базису, = xv. Тогда A(0), E(1), где v = .

Систему координат на прямой можно задать еще следующими способами:

Двумя различными точками О и E данной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем вектор v = (см. рис. 4.2).

Точкой О, единичным отрезком О E и положительным направлением данной прямой, которое отмечается стрелкой.

3. Аффинная система координат на плоскости. В случае плоскости базис состоит из двух неколлинеарных векторов плоскости, v = (v₁, v₂), и система координат (О, v₁, v₂) изображена на рис. 4.3. В системе координат на плоскости каждая точка A плоскости имеет две координаты A(x, y), определяемые разложением вектора по базису, = xv₁+ yv₂. Тогда A(0, 0), E₁(1, 0), E₂(0, 1), где v₁= , v₂= . Координаты точки называются соответственно абсциссой и ординатой.

Систему координат на плоскости можно задать еще следующими способами:

Тремя точками О, E₁, E₂ плоскости, не лежащими на одной прямой. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы v₁= , v₂= .

Двумя пересекающимися числовыми осями О x , О y данной плоскости с общим началом О. Ось О x называется осью абсцисс, ось О y - осью ординат.

Аффинная система координат (О, v₁, v₂) называется правой (левой), если поворот от вектора к вектору по кратчайшему направлению совершается против часовой стрелки (по часовой стрелке). На рис. 4.3 и 4.4 представлены правые системы координат.

4. Аффинная система координат в пространстве. В случае пространства базис состоит из двух некомпланарных векторов пространства, v = (v₁,v₂, v₃), и система координат (О, v₁, v₂, v₃) изображена на рис. 4.5. В этой системе координат каждая точка A пространства имеет три координаты A(x, y , z), определяемые разложением вектора  по базису, = xv₁+ yv₂ + zv₃. Тогда A(0, 0, 0), E₁(1, 0, 0), E₂(0, 1, 0), E₃(0, 0, 1), где v₁= , v₂= , v₃= . Координаты точки называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.

Систему координат в пространстве можно задать еще следующими способами:

Четверкой точек О, E₁, E₂, E₃ пространства, не лежащими на одной плоскости. Тогда одну из точек, например О, берем в качестве начала системы координат, а в качестве базисного вектора возьмем векторы v₁= , v₂= , v₃= .

Тремя числовыми осями О x , О y , О z , не лежащими в одной плоскости с общим началом О. Ось О x называется осью абсцисс, ось О y - осью ординат, ось О z - осью аппликат.

Аффинная система координат (О, v₁, v₂, v₃) называется правой (левой), если тройка векторов v₁, v₂, v₃ правая (левая) На рис. 4.5 и 4.6 представлены правые системы координат, а на рис. 4.7 левая система координат.

§ 2. Основные задачи, решаемые в аффинные системы координат

1. Определение координат вектора по координатам его концов. Пусть в пространстве дана аффинная система координат (О, v₁, v₂, v₃) и точки A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂). Требуется найти координаты вектора . По определению координат точки = x₁v₁+ y₁v₂ + z₁v₃, = x₂v₁+ y₂v₂ + z₂v₃. Тогда

= -  = (x₂ - x₁)v₁+ (y₂ - y₁)v₂ + (z₂ - z₁)v₃.

= (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁).                          (2.1)

Координаты вектора в базисе аффинной системе координат равны разности соответствующих координат точек B и A . Отметим, что аналогичное утверждение имеет место для векторов плоскости и прямой.