Прямоугольные системы координат

1. Определение прямоугольной системы координат.

Определение 4.1. Аффинная система координат называется прямоугольной, если базис, определяющий систему координат ортонормированный, т.е. вектора базиса попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Отметим, что прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы координат. В пространстве ортонормированный базис обозначается буквами i, j, k, а прямоугольная система координат обозначается символом (O, i, j, k).

 Прямоугольную систему координат в пространстве можно задать тремя взаимно перпендикулярными числовыми осями О x , О y , О z с общим началом О, и равными единичными отрезками по осям. Она обозначается символом Oxyz.

На рис. 4.13 и 4.14 соответственно изображены правая и левая прямоугольные системы координат в пространстве.

На плоскости ортонормированный базис обозначается буквами i, j, прямоугольная система координат обозначается символом (O, i, j).

Прямоугольную систему координат на плоскости можно задать двумя взаимно перпендикулярными числовыми

осями О x , О y с общим началом О, и равными единичными отрезками по осям, обозначается символом Oxy.

На рис. 4.15, 4.16 изображены правые прямоугольные системы координат на плоскости, а на рис. 4.17 - левая система координат.

На прямой ортонормированный базис обозначается буквой i, прямоугольная система координат обозначается символом (O, i). Прямоугольную систему координат на прямой задает любая числовая ось прямой.

§ 5. Формулы преобразования прямоугольной системы координат. Для прямоугольной системы координат имеют место все формулы, имеющие место для произвольной аффинной системы координат.

Рассмотрим случай преобразования прямоугольных систем координат на плоскости. Пусть на плоскости даны две прямоугольные системы координат (О, i, j) и (О¢, i¢, j¢). Пусть точка О¢ в системе (О, i, j) имеет координаты O¢(x₀, y₀), а T = (t_ij) матрица перехода от базиса старой системы координат к базису новой. Пусть точка A имеет в старой и соответственно в новой системах координат координаты A(x, y) и A(x¢, y¢). По формуле (3.4)имеем

.                            (4.1)

Чтобы применить эти формулы, разложим вектора i¢, j¢ по векторам i, j. Для этого обозначим через a угол между векторами i, i¢. Отсюда получим

i¢= cos a ×i +sin a× j,

j¢= cos (a ± p/2)× i +sin (a ± p/2)× j = -e×sin a× i +e×cos a × j,

где число e, равно 1 или -1 в соответствии с тем базисы i, j и  i¢, j¢¢ ориентированны одинаково или противоположно (см. рис. 4.20, 4.21). Тогда получим матрицу  перехода от первого базиса ко второму, а из формулы (4.1) следуют формулы преобразования прямоугольных координат плоскости

,                                          (4.2)

где число e, равно 1 или -1 в соответствии с тем новая и старая системы координат ориентированны одинаково или противоположно.

Если начала и ориентации старой и новой систем координат совпадают, то одна система получается из другой поворотом на угол a. В этом случае формулы (4.2) принимают вид

.                                                 (4.3)

и называются формулами поворота прямоугольной системы координат.