Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна

Системы, имеющие постоянную четную часть

 

Пусть нам дана система

 

                               (14)

 

Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть.

 

(15)

 

То есть, когда  не будет зависеть от времени .

Возьмем отражающую функцию системы (14)  и используя

 

 

получим четную часть следующим образом:

 

                                                   (16)

 

Теорема 15 Если выполнено тождество

 

где  – отражающая функция, для линейной системы вида (14), то любое решение этой системы имеет постоянную четную часть.

Доказательство. Возьмем любое решение  системы (14). Его производная

 

 

Поэтому можем записать

 

 

Из условия теоремы имеем

 

 

Таким образом получили, что  – четная вектор-функция. Тогда

 

 

Построение систем с заданной четной частью

 

Рассмотрим систему (14). Будем строить систему с заданной четной частью.

Пусть нам известна четная часть . Воспользуемся формулой (15) и преобразуем ее

 

Следовательно, можем записать

 

 

Отсюда зная (3), получим

 

 

где  – отражающая функция системы. Исключая  из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией , удовлетворяющей условию

 

 

получим требуемую систему.

 

Пример 16 Пусть

 

 

где  – заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства

 

 

Преобразуем правую часть

 

Перепишем полученное в виде:

 

 

Выразим :

 

         (17)

 

Для всех систем вида (17) должно быть выполнено условие

 

 

Возьмем

 

 

Найдем , . ;

 

 

Подставим значения ,  в систему (17):

 

 

Получаем требуемую систему:

 

Пример 17 Пусть

 

 

где  – заданная четная часть, . Продифференцируем обе части равенства

 

 

и преобразуем правую часть

 

 

Перепишем полученное в виде:

 

 

Выразим :

 

       (18)

 

Для всех таких систем должно быть выполнено условие .

Возьмем . Найдем , . ,

 

Подставим найденные значения в систему (18) и сделав преобразования аналогичные примеру 16, получаем:

 

 

Рассмотрим теперь общий случай, когда нам задана четная часть  общего решения системы с отражающей функцией . В этом случае

 

 

Поэтому, если  нам задана, то из соотношения

 

 

при заданной  мы найдем общее решение  искомой системы. Саму систему мы построим исключая  из соотношений

 

 

Таким образом, мы пришли к

Теорема 18 Всякая система

 

        (19)

 

где  находятся из системы

 

 

при любой заданной дифференцируемой функции , удовлетворяющей соотношениям

 

 

имеет общее решение с четной частью .

Если

 

 

то система (19) имеет вид:

 

 

Таким образом, мы пришли к выводу:

 

Следствие 19 Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.

 

 

Заключение

 

Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.

Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.