Осцилляция популяций в системе «хищник-жертва»

Первая экологическая модель типа «хищник – жертва» была предложена в книге Лотки [8]. Она основана на тех же уравнениях (5).

Пусть на острове живут жертвы  (зайцы) и хищники  (волки). Рассматривается математическая модель изменения величин  (растительная пища для зайцев), , ,  (умершие волки) на основе следующих предположений:

1. Наличие зайцев  и еды для них  приводит к увеличению количества зайцев, что можно записать формулой:

  (6)

2. Наличие волков  и еды для них  приводит к увеличению количества волков:

(7)

3. Волки умирают от болезней или старости:

(8)

4. Скорость изменения количества зайцев по формуле (6), скорость изменения количества волков по формуле (7) и скорость увеличения количеств умерших волков по формуле (8) равны соответственно:

, , , (9)

где символами , ,  обозначены количества растительной пищи, зайцев и волков, а  - положительные коэффициенты.

5. Скорость изменения каждого из количеств  (количество умерших волков) равна сумме скоростей изменения этих количеств в каждом из процессов (6), (7), (8), в котором соответствующая величина  участвует.

Из условий 1-5 следуют уравнения Лотки (5), только символы имеют другой смысл.

Более общие модели поведения  хищников и  жертв в различных эко-логических ситуациях были предложены в лекциях Вольтерры [1]. В связи с этим, уравнения Лотки (5) называют часто уравнениями Лотки-Вольтерра.

И все же большая часть работ по этой тематике посвящена даже более упрощенному по сравнению с моделью Лотки двумерному случаю, так как это позволяет применять методы фазовой плоскости для динамических систем.

Сведение модели (5) к двумерной основано на предположении, что вели-чина  постоянна. В случае модели осциллирующих химических реакций это означает, что вещества  достаточно много, а в случае модели «хищник - жертва» это означает, что еды у зайцев достаточно много. Из этого предполо-жения следует, что . Так как величина  входит только в послед-нее из уравнений (5), то второе и третье уравнения отделяются:

,

,  (10)

где .

2.2 Другие модели

Они излагаются в многочисленных статьях и книгах. Кроме уже предложенных ранее, дадим здесь ссылку еще на одну книгу [6].

3. Идентификация параметров модели Лотки

Дифференциальные уравнения

Задачу Коши для уравнений Лотки (5) п.2 запишем, используя более стан-дартные математические обозначения:

,

,  (1)

,

,

, (2)

Задача Коши (17), (18) п.1 будет следующей:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

, (3)

, , (4)

Как видим, задача Коши (1), (2), (3), (4) полиномиальная, и для ее численного интегрирования можно применять метод рядов Тейлора.