Полиномиальные системы

Полиномиальной системой мы будем называть автономную систему ОДУ

,    (25)

где - алгебраические полиномы по .

Какие системы ОДУ можно свести к полиномиальным и как это делается? Начнем с примера. Рассмотрим задачу Коши:

 (26)

 (27)

Вводя дополнительные переменные

 (28)

получаем следующую квадратичную задачу Коши:

 (29)

  (30)

Теперь рассмотрим достаточно общий случай. Рассмотрим класс  сис-тем ОДУ (23), правые части которых можно представить в виде:

 (31)

где все функции , а также все функции

 (32)

являются алгебраическими полиномами по .

Любая система из  сводится к полиномиальной. Действительно, если в (23),(24) ввести дополнительные переменные  то:

(33)

 (34)

где все правые части

 (35)

- алгебраические полиномы по  с постоянными коэффициентами.

Уравнения кинетики, как правило, либо имеют вид (25), либо могут быть сведены к такой системе введением дополнительных переменных. Поэтому важно знать какие функции удовлетворяют полиномиальным системам, или, иначе говоря, насколько богаты содержанием модели, основанные на полиномиальных системах ОДУ.

Обсудим этот вопрос. Будем говорить, что скалярная функция скалярного аргумента удовлетворяет полиномиальной системе, если она является одной из компонент решения такой системы. Класс скалярных функций, удовлетворяющих полиномиальной системе назовем . За исключением некоторых теоретико-числовых функций (гамма-функция Эйлера, дзета-функция Римана и т.п.) остальные функции из известных математических справочников принадлежат классу .

Этот класс замкнут относительно операций  (сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование, супер-позиция). Это означает, что если функции  принадлежат , то и любая их композиция, полученная при помощи конечного числа операций , также принадлежит .

1.4.2 Метод рядов Тейлора

Введем в рассмотрение оператор , сопоставляющий решению  задачи Коши (23), (24) его полином Тейлора

,   (36)

порядка . Радиус сходимости ряда  обозначим .

Метод рядов Тейлора решения задачи Коши (23), (24) заключается в построении таблицы приближенных значений  по формулам:

,

, , (37)

где  - натуральные, , , , а  удовлетворяют неравенствам .

Для программной реализации метода рядов Тейлора необходимы алгоритмы нахождения коэффициентов Тейлора и автоматического выбора величины шага интегрирования.

Нахождение коэффициентов Тейлора

Рассмотрим квадратичную задачу Коши

,  (38)

, (39)

где  - вещественные или комплексные постоянные, а  - вещественная или комплексная переменная.