Функционалы метода наименьших квадратов

Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

 

Выполнила студентка 312гр.

Варламова А.А.

Проверил Токин И.Б

 

 

Санкт-Петербург

2007

Оглавление

 

1. Идентификация параметров в системах описываемых ОДУ

1.1 Градиентные уравнения

1.2 Уравнения в вариациях

1.3 Функционалы метода наименьших квадратов

1.4 Численное решение градиентных уравнений

1.4.1 Полиномиальные системы

1.4.2 Метод рядов Тейлора

1.4.3 Метод Рунге-Кутта

2. Модели осциллирующих процессов в живой природе

2.1 Модель Лотки

2.1.1 Осциллирующие химические реакции

2.1.2 Осцилляция популяций в системе “хищник-жертва”

2.2 Другие модели

3. Идентификация параметров модели Лотки

3.1 Дифференциальные уравнения

3.2 Постановки задачи идентификации и функционалы МНК

3.3 Как ускорить вычисления

3.4 Численный эксперимент

4. О других методах идентификации

Литература

Идентификация параметров в системах, описываемых ОДУ

 

Градиентные уравнения

Градиентные уравнения возникают в связи с задачей нахождения экстремумов функций многих аргументов. Важно, что эти аргументы сами могут зависеть от решений каких-то уравнений - численных, дифференциальных и иных. Мы будем использовать их для минимизации функций аргументов, за-висящих от решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим вещественнозначную функцию  аргумента ,  и пусть  и . Тогда величина

 

     (1)

 

то есть производная функции  по направлению  характеризует скорость изменения  при изменении  в направлении вектора .

Из формулы (1) получаем:

 

 (2)

 

где  - градиент функции , а это дает:

 

  (3)

                                         (4)

  (5)

 

Таким образом, вектор  является направлением наискорейшего рос-та функции  в точке , а вектор  - это направление наискорейшего ее убывания в этой точке.

Градиентной кривой функции  называют кривую , , касательное направление к которой в каждой точке  противоположно направлению вектора градиента , то есть сов-падает с направлением наискорейшего убывания .

Это означает, что удовлетворяет дифференциальному уравнению:

 

             (6)

 

или в координатной форме:

 

 (7)

 

К уравнениям (6) или (7) добавляем начальные условия:

 

(8)

 

или в координатной форме:

 

 (9)

Решение задачи Коши (6),(8) (или (7),(9)) определяет градиентную кривую проходящую через точку . Будем рассматривать это решение как век-тор-функцию  аргументов  и .

Зададимся теперь целью найти точку  локального минимума неотрицательной функции , если она существует и достаточно близка к . Если за начальное приближение для  взять , то движение вдоль градиентной кривой, проходящей через  (то есть движение вдоль траектории решения ) можно считать идеальным путем к точке .

Если решение задачи (6),(8) существует при , то при любом та-ком  получаем, что:

 

 при  (11)

 при  (12)

 

и мы вправе ожидать, что

 

(13)

 

Метод градиентных уравнений нахождения локального минимума функции  заключается в численном интегрировании задачи Коши (6),(8) вдоль оси  до достижения точки , достаточно близкой к .

 

Уравнения в вариациях

Рассмотрим задачу Коши:

(14)

(15)

 

где  - параметры. В дальнейшем мы рассмотрим функционалы, зависящие от параметров  через решение задачи Коши (14),(15). Тогда градиентные уравнения будут зависеть от производных по  решения задачи (14),(15), и мы должны уметь их вычислять. Дифференцируя уравнения (14), (15) по  получаем, что функции

 

 (16)

 

удовлетворяют следующей задаче Коши:

 

   (17)

  (18)

 

Уравнения (17) относительно производных (16) называют уравнениями в вариациях для уравнений (14).

 

Функционалы метода наименьших квадратов

Мы не можем рассмотреть здесь все многообразие функционалов метода наименьших квадратов и ограничимся одним достаточно общим функционалом. Он соответствует следующей задаче: модель некоторого процесса описывается задачей Коши (14),(15) (такие модели, в частности, достаточно распространены в биологической кинетике), даны измерения

, (19)

 

то есть даны  приближений для значений величин  в моменты времени , и требуется найти параметры  на основе заданного начального приближения .

В методе наименьших квадратов нахождения (идентификации) параметров  рассматривают функционал

 

  (20)

 

где  - фиксированные весовые коэффициенты, а  - значения первых  компонент решения задачи (14),(15) в точке  при заданных

В методе наименьших квадратов полагают, что значение , доставляющее минимум этой функции , является адекватным приближением к реальному значению параметра  для принятой модели процесса.

Для того, чтобы воспользоваться методом градиентных уравнений, необходимо выписать уравнения (7) для функционала (20):

 

 (21)

 

Эти градиентные уравнения надо дополнить начальными условиями:

 

(22)