Показательное (экспоненциальное) распределение

Задача 69

Построить график плотности показательного распределения при х=0, х=1, х=2, если .

Решение

1. Плотность показательного распределения имеет следующий вид:

, где  - постоянная положительная величина.

2. Определим значения  в указанных точках:

х₁=0, ;

х₂=1, ;

х₃=2, .

 

Задача 70

Непрерывная СВ Х распределена по показательному закону:  при ;  при . Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (0,3, 1).

Решение

1. Вероятность попадания в интервал СВ при показательном распределении определяется как

2. По условию , получим: .

 

Равномерное распределение

Задача 71

Шкала прибора проградуирована в некоторых единицах. Рассматривается СВ Х – ошибка при округлении счета до ближайшего целого деления. Два соседних целых деления имеют значения 2 и 4. Считая распределение СВ равномерным, определить плотность этого распределения и вычертить ее график.

Решение

1. Плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

, где а, b – интервал, в котором заключена СВ величина.

2. Запишем плотность равномерного распределения СВ:

 

, .

3. График равномерной плотности распределения выглядит следующим образом:

 

Задача72

На циферблате часов имеются только 4 цифры: 12, 3, 6 и 9. Большая стрелка в данный момент времени располагается между цифрами 3 и 6, маленькая – между 6 и 9. Считая распределение случайных величин – расположения большой и маленькой стрелок – равномерным, определить плотность этих распределений и вычертить их график.

Решение

1. Для большой стрелки СВ₁:

1.1.  Плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

, где а, b – интервал, в котором заключена СВ величина.

1.2. Запишем плотность равномерного распределения СВ₁:

 

, .

1.3. График равномерной плотности распределения СВ₁ выглядят следующим образом:

 

 

2. Для маленькой стрелки СВ₂:

2.1. Плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

, где а, b – интервал, в котором заключена СВ величина.

2.2. Запишем плотность равномерного распределения СВ₂:

 

, .

2.3.  График равномерной плотности распределения СВ₂ выглядят следующим образом:

Функция распределения

Задача 73

Непрерывная случайная величина задана функцией распределения: .  Найти вероятность того, что в результате испытаний СВ примет значение, принадлежащее интервалу (0, 2).

Решение

Вероятность попадания СВ в интервал можно определить по формуле: .

Тогда, .

Ответ: .

 

Задача 74

 Дискретная случайная величина задана таблицей распределения:

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Найти функцию распределения.

Решение

1. В соответствии со свойством функции распределения если , то .

2. Далее при , .

3. Далее при , .

4. Далее при , .

5. Таким образом, .