Теорема умножения вероятностей для зависимых событий

Задача 29

В ящике с деталями находятся детали двух сечений: круглого и прямоугольного. Деталей круглого сечения – 7, деталей прямоугольного – 9. Наугад берется 1 деталь. Она оказывается круглого сечения. Деталь в ящик не возвращается. Наугад берется еще 1 деталь. Найти вероятность того, что она будет прямоугольного сечения.

Решение

Способ 1

1. Пусть появление детали круглого сечения – событие В. Появление детали прямоугольного сечения – событие С.

2. Определим общее количество деталей в ящике:

К_общ=7+9=16.

3. Определим вероятность появления второй детали прямоугольного сечения. После извлечения первой детали в ящике осталось 15 деталей, причем 9 из них прямоугольного сечения. Следовательно,

Р(С)= .

Способ 2

1. Пусть появление детали круглого сечения – событие В. Появление детали прямоугольного сечения – событие С. Появление подряд деталей круглого и прямоугольного сечений – событие ВС.

2. Определим общее количество деталей в ящике:

К_общ=7+9=16.

3. Определим вероятность появления первой детали круглого сечения:

.

4. Определим общее число исходов появления двух деталей (безразлично какого сечения). Общее число исходов равно числу размещений:

.

.

5. Определим число благоприятных событий появлению подряд двух деталей:

.

6. Определим вероятность появления подряд двух деталей:

Р(ВС)= .

7. Определим вероятность появления детали прямоугольного сечения при втором испытании:

Р(С)= .

Ответ: .

Задача 30

На семи карточках написаны буквы, образующие слово «СОЛОВЕЙ». Карточки перемешивают и из них наугад последовательно извлекают и выкладывают слева направо три карточки. Найдем вероятность того, что получится слово «ВОЛ» (событие ).

Решение

Решать эту задачу способом, каким была решена задача 26*, не следует, т. к. в данном наборе карточек буква «О» встречается 2 раза.

1. Введем события:   – на первой выбранной карточке написана буква «В»;  – на второй карточке — буква «О»;  – на третьей карточке — буква «Л».

2. Тогда событие   есть пересечение событий ,   и . Следовательно, в соответствии с формулой умножения вероятностей

3. Согласно классическому определению вероятности,

4. Если событие   произошло, то на шести оставшихся карточках буква «О» встречается два раза, поэтому условная вероятность

5. Аналогично определяем вероятность встречи буквы «В» . Из пяти оставшихся карточек она может встретиться только один раз:

6. Искомая вероятность:

Ответ:

 

Задача 31

 У сборщика имеется 6 конусных и 13 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый валик эллиптический, второй валик конусный.

Решение

1. Пусть валик окажется эллиптическим – событие В. Валик окажется конусным – событие С.

2. Определим общее количество валиков: К_общ=13+6=19.

3. Определим вероятность того, что первый валик будет эллиптическим: Р(В)= .

4. Определим вероятность того, что второй валик конусный:

Р_В(С)= .

5. Определим вероятность того, что первый валик эллиптический, второй валик конусный. По теореме умножения вероятностей:

.

.

Ответ: .

 

Задача 32

У сборщика имеется 4 вида деталей: круглого, треугольного, овального и квадратного сечений. Круглого сечения – 6 штук. Треугольного сечения – 3 штуки. Овального сечения – 5 штук. Квадратного сечения - 7 штук. Найти вероятность того, что сборщик подряд возьмет следующие четыре детали: треугольного сечения, квадратного сечения, овального сечения, круглого сечения.

Решение

1. Пусть событие А – попадание детали треугольного сечения. Событие В – попадание детали квадратного сечения. Событие С – попадание детали овального сечения. Событие D  - попадание детали квадратного сечения. Событие АВС D – попадание подряд указанных четырех деталей.

2. Определим вероятность события А: Р(А)= .

3. Определим вероятность события В: Р(В)= .

4. Определим вероятность события С: Р(С)= .

5. Определим вероятность события D : Р( D )= .

6. Определим вероятность события АВС D:

Р(АВСД)=

Р(АВСD)= .

Ответ: 0, 00438.

Задача 33

В урне 6 белых и 4 черных шара. Некто вынимает 1 шар. Этот шар оказывается черным. Найти вероятность того, что следующий шар будет белым. Применить условную вероятность.

Решение

1. Пусть событие А – появление черного шара. Событие В – появление белого шара. Событие АВ – появление подряд белого и черного шаров.

2. Определим общее количество шаров в урне:

l=4+6=10.

3. Определим вероятность появления черного шара:

Р(А)= .

4. Определим количество способов, которыми можно вытащить 2 любых шара из урны. Количество способов равно числу размещений:

5. Определим количество благоприятных исходов появления подряд белого и черного шаров:

n=6*4=24.

6. Определим вероятность появления двух шаров черного и белого:

;

7. Определим вероятность того, что второй шар будет белым:

Р_А(В)= ; Р_А(В)= :  = .

Ответ: 0, 666.

 

Задача 34

В ящике 20 деталей, из которых 15 биметаллических и 5 латунных.  Контролер наугад вынимает 1 деталь. Эта деталь оказывается биметаллической. Найти вероятность того, что следующая деталь будет латунной. Применить условную вероятность.

Решение

1. Пусть событие А – появление биметаллической детали. Событие В – появление латунной шара. Событие АВ – появление подряд биметаллической и латунной деталей.

2. Определим вероятность появления биметаллической детали:

Р(А)= .

3. Определим количество способов, которыми можно извлечь 2 любые детали из ящика. Количество способов равно числу размещений:

4. Определим количество благоприятных исходов появления подряд белого и черного шаров:

n=15*5=75.

6. Определим вероятность появления двух деталей: латунной и биметаллической:

;

7. Определим вероятность того, что второй шар будет белым:

Р_А(В)= ; Р_А(В)= :  = .

Ответ: 0,263.