Метод простой итерации

Рассматривается система линейных алгебраических уравнений

Ax = b

Для применения итерационных методов система должна быть приведена к эквивалентному виду

x=Bx+d.

Затем выбирается начальное приближение к решению системы уравнений и находится последовательность приближений к корню.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы было выполнено условие (норма матрицы). Критерий окончания итераций зависит от применяемого итерационного метода.

Метод Якоби .

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итерации, состоит в следующем:

Из первого уравнения системы выразим неизвестное x₁, из второго уравнения системы выразимx₂, и т. д.

В результате получим систему уравнений с матрицей B, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

Компоненты вектора d вычисляются по формулам:

Расчетная формула метода простой итерации имеет вид:

или в покоординатной форме записи выглядит так:

Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид:

Если , то можно применять более простой критерий окончания итераций

Пример 1. Решение системы линейных уравнений методом Якоби.

Пусть дана система уравнений:

Требуется найти решение системы с точностью

Приведем систему к виду удобному для итерации:

Выберем начальное приближение, например,

- вектор правой части.

Тогда первая итерация получается так:

Аналогично получаются следующие приближения к решению.

Найдем норму матрицы B.

Будем использовать норму

Так как сумма модулей элементов в каждой строке равна 0.2, то , поэтому критерий окончания итераций в этой задаче

Вычислим нормы разностей векторов:

Так как заданная точность достигнута на четвертой итерации.

Ответ: x₁ = 1.102, x₂ = 0.991, x₃ = 1.011

Метод Зейделя .

Покоординатная форма записи метода Зейделя.

Матричная форма записи метода Зейделя.

Достаточное условие сходимости МПИ .

Достаточное условие сходимости МЗ .

Теорема 1.

Пусть рассматривается метод Зейделя . Тогда если , то метод Зейделя сходится при любом начальном приближении и справедливы следующие оценки:

4

3

Следствие 1.

Метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии.

Следствие 2.

Критерий окончания .

Геометрическая интерпретация метода Зейделя.

Замечание.

Метод Зейделя может зациклиться.

Итерационные методы решения СЛАУ. Метод последовательной/нижней реалаксации.

Постановка задачи приближения функций. Среднеквадратичное уклонение. Метод наименьших квадратов.