Пример некорректной задачи. Задача вычисления ранга матрицы в общем случае.

Оценка погрешностей арифметических операций и функций.

Утверждение 1.

Абсолютная погрешность  не превышает абсолютных погрешностей аргументов.

4 3

Утверждение 2.

Относительная погрешность произведения и частного не превышает суммы относительных погрешностей аргументов.

4 3

2. Представление чисел в ЭВМ. Понятие машинного e машинной бесконечности, машинного нуля. Вычислительные задачи. Вычислительные алгоритмы. Катастрофическая потеря точности.

Определение 2.

Машинная бесконечность  – максимально большое представимое в ЭВМ число.

Машинный нуль  – минимальное положительное представимое в ЭВМ число.

Машинное эпсилон  – относительная погрешность представления числа в ЭВМ.

Вычислительные задачи:

Корректность вычислительной задачи.

Определение 1.

Будем называть вычислительную задачу корректной по Адамару, если:

1. Решение существует для всех допустимых входных данных.
2. Решение задачи устойчиво, т. е. непрерывным образом зависит от входных данных (малой погрешности входных данных соответствует малая погрешность результата).
3. Решение задачи единственно.

Корректность вычислительной задачи

Обозначим x* и y* — приближенные значения исходных данных и приближенное решение вычислительной задачи. Пусть определены их абсолютные и относительные погрешности, а также границы этих погрешностей

(эти понятия интуитивно ясны и известны, использовались в ЛП по физике, точные определения будут даны ниже).

Вычислительная задача называется корректной по Адамару - Петровскому, если:

1. при любых существует решение ;
2. решение единственно;
3. решение устойчиво по отношению к малым возмущениям исходных данных:

для любого существует число , зависит от , такое, что всякому x*, удовлетворяющему условию , отвечает приближенное решение y*, для которого .

Задача некорректна, если нарушено хотя бы одно из этих условий.

Иногда рассматривают относительную устойчивость, т.е. в соответствующих неравенствах и заменяют соответственно на .

Пример некорректной задачи. Задача вычисления ранга матрицы в общем случае.

Для матрицы ранг . В данном случае исходными данными являются коэффициенты матрицы А, решением ранг матрицы А.

Рассмотрим задачу с возмущенными исходными данными . Определитель этой матрицы и, следовательно ранг равен 2.

Задача, интегрирование функции —корректна:

если , т.е. для любого существует число , , удовлетворяющему условию , отвечает приближенное значение интеграла , для которого .

В последнее время наибольшее внимание уделяется решению некорректных задач. Здесь приоритет принадлежит российским вычислителям, в первую очередь Андрею Николаевичу Тихонову (1906-1993), методы регуляризации.