Постановка задачи поиска корня нелинейного уравнения. Метод Ньютона. (см документ пдф)

Постановка задачи поиска корня нелинейного уравнения. Модификация метода Ньютона (упрощенный метод Ньютона, метод ложного положения, метод секущих и др.) (см документ пдф)

Обусловленность задачи вычисления корня нелинейного уравнения. (см документ пдф)

Постановка задачи решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Норма вектора, норма матрицы. Обусловленность задачи решения СЛАУ. (см документ пдф)

Основные задачи вычислительной математики:

1. Решение СЛАУ.
2. Нахождение собственных чисел и собственных векторов.
3. Постанов
4. Обратная матрица.
5. Вычисление определителя.

Ка задачи о приближенном решении уравнения.

 

 – точное решение (неизвестно).

Требуется найти вектор  – приближенное решение с точностью .

 

Определение 1.

Будем говорить, что в  введена норма вектора, если  сопоставляется число , удовлетворяющее аксиомам:

1. 
2. 
3. 

Наиболее употребительные нормы:

Пример.

 

Определение 2.

Под погрешностями вектора будем понимать:

 

Справедливо следующее соотношение для норм векторов:

 – размерность пространства.

 

Пусть рассматривается последовательность приближений .

Будем говорить, что эта последовательность сходится к  по норме, если .

Всюду далее конкретизация нормы не существенна, т. к. сходимость одной влечёт сходимость по остальным.

 

Определение 3.

Подчинённой нормой матрицы А называется число, определяемое .

 

Пример.

Введённая таким образом норма удовлетворяет следующим аксиомам нормы матрицы:

1. 
2. 
3. 
4. 

 

Имеем систему  Найти не сможем, т. к. искажена и A и b. Будем решать .

Рассмотрим задачу о нахождении приближенного решения , выбрав евклидову норму вектора .

 

Обусловленность задачи решения СЛАУ.

 

Погрешность входного данного:

 

Теорема 1.

Пусть  – точное решение системы ,  – решение системы . Тогда справедливы следующие оценки:

 

4

3

 

Определение 4.

Числом обусловленности матрицы А будем называть число .

Если , то матрица называется плохо обусловленной.

 

Пример.

 

Утверждение 1.

Пусть  – точное решение системы ,  – решение системы . Тогда справедлива оценка .

Пусть  – точное решение системы ,  – решение системы . Тогда справедлива оценка .

Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса и его модификации с выбором главного элемента.

Метод Гаусса и его модификации.

 

Схема единственного деления.

1 шаг. Предполагаем, что  – ведущий элемент 1-ого шага.

k шаг.  – ведущий элемент k-ого шага.

Выписываем (m-1) шаг метода Гаусса.

 арифметических действий.

Обратный ход.