Математические модели радиогеохимического эффекта

 

Математическая постановка задачи в указанных выше предположениях в одномерном случае включает уравнение для радиоактивных примесей в несущей жидкости

(3.6)

и в скелете пористой среды

(3.7)

где  – пористость,

,	(3.8)
.	(3.9)

Складывая (3.6) в (3.7), получим идентичные уравнения для плотности радиоактивного вещества в жидкости

(3.10)

и скелете пористой среды

,

(3.11)

где скорость конвективного переноса примесей  определяется выражением

.

(3.12)

Так как химический потенциал является функцией от концентрации, то разложим его в ряд Тейлора вблизи точки равновесия растворенного вещества

.

(3.13)

 

Предполагается, что в равновесии химические потенциалы радиоактивных веществ равны . Пренебрегая в (3.13) слагаемыми порядка выше первого, получаем

,

(3.14)

 

где .

Для простоты считаем, что процесс фильтрации равновесный, так что концентрации радиоактивных веществ в жидкости и скелете пористой среды определяются из условия равенства химических потенциалов

.

(3.15)

Такое же условие и для нефти в скелете .

 

Постановка задачи

Исследование динамики примесей при поршневом вытеснении нефти водой из пористой среды приводит к краевым задачам математической физики. В общем случае разработка данной теории требует совместного рассмотрения уравнений (3.10) и (3.11) с краевыми условиями. Однако плотности в скелете  и насыщающей жидкости  связаны равенством . Это соотношение позволяет отыскивать решение только одного из уравнений, поскольку второе решение находится умножением или делением на . Можно показать, что найденное таким образом второе решение будет удовлетворять соответствующему дифференциальному уравнению в частных производных.

Краевые условия задачи определяются из очевидных соображений.

Требуется найти решение уравнения для жидкости

,

(3.16)

в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти . Предполагается, что на левом конце стержня поддерживается постоянная концентрация радиоактивного вещества , поэтому для подобласти  граничное условие имеет вид

.

(3.18)

 

 Требуется найти решение уравнения для скелета

,

(3.17)

в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти .

В подобласти  на правой подвижной границе поддерживается неизменной плотность радиоактивного вещества в скелете, поэтому граничное условие для уравнения скелета имеет вид

(3.19)

Это условие определяет перенос радиоактивных веществ из нефтенасыщеной зоны пористой среды в водонасыщенную.

Решение задач

Найдем решение уравнения (3.16) в более общем виде. То есть для уравнения

,

с граничным условием

.

(3.20)

для области

Решение уравнений (3.16) находится методом характеристик.

(3.21)

Интегрируя первое уравнение системы (16), получаем

(3.22)

Из второго уравнения следует, что , где – некоторая постоянная. Но т.к. , то .

Найдем границы области в котором есть решение.

Пусть при , тогда

Для начального момента, при  и

(3.23)

Уравнение (3.23) представляет собой границу.

Параметризуем уравнение (3.22).

Зададим  так, чтобы получить значение при , т. е. .

При ,  

(3.24)

 

(3.25)

Подставляя значение параметра в (15) получим

(3.26)

Так как , то

(3.27)

Таким образом это выражение (3.27) есть решение уравнения (3.16) в более общем виде.

Для частного случая, т. е.  не зависит от , решение

(3.28)

Полученное решение (8) для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости, удовлетворяет граничному условию для жидкости в подобласти .

Решение для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим из условия равенства химических потенциалов

.

(3.29)

 

Таким же образом, в более общем виде решим уравнение для скелета

,

(3.30)

с граничным условием

,

(3.31)

для области .

(3.32)

Интегрируя первое уравнение (3.32), получаем

.

(3.33)

Из второго уравнения следует, что , где – некоторая постоянная. Но т.к. , то .

Параметризуем уравнение (3.33): при , . Тогда

;

 

;

Так как

.

 

.

 

.

(3.34)

 

Подставим значение параметра (3.34) в граничное условие для скелета пористой среды

,

То теперь

,

(3.35)

Выражение (3.35) есть решение уравнения для скелета (3.30) в общем виде. Частное решение получаем из (3.35) исключая .

.

(3.36)

Полученное решение (3.36) для плотности радиоактивного вещества в скелете, удовлетворяет граничному условию подобласти .

Используя соотношение (3.15) находим решение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости подобласти  получим из условия равенства химических потенциалов

.

(3.37)

 

Проверка значений на границах подобласти

При ,  на правой границе

;

(3.38)

при  и  на левой границе

.

(3.39)

 

Окончательное выражение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости имеет вид:

(3.40)

и для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим

(3.41)

Для области , занимаемой вытесняемой нефтью плотности радиоактивного вещества в скелете и нефти остаются неизменными:

(3.42)

Результирующая плотность радиоактивных веществ в пористой среде ρ⁺ складывается из плотности в насыщающей жидкости, скелете и нефти, поэтому окончательное выражение имеет вид

(3.43)