Уравнение конвективной диффузии

 

Пусть имеется раствор с плотностью растворителя  и плотностью растворенного вещества – , тогда плотность раствора запишется в виде

(2.18)

 Запишем уравнение неразрывности для растворителя:

(2.19)

Диффузию не учитываем, потому что в жидкостях коэффициент диффузии мал.

Будем считать, что растворитель является несжимаемым, т.е.  не зависит от пространственных координат и

(2.20)

Тогда из выражения (2.19), получим

(2.21)

Запишем уравнение неразрывности для раствора:

(2.22)

В (2.22) подставим (2.18), получим

Учитывая (2.20), (2.21) и независимость  от пространственных координат, получим

(2.23)

Опустим штрих, предполагая в дальнейшем  – плотность примеси.

(2.24)

Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое:

Первое слагаемое  описывает изменение массового содержания в рассматриваемой точке;

Второе слагаемое  отвечает за конвекцию;

Третье слагаемое  отвечает за диффузию.

Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изменение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии.

На практике в (2.24) слагаемым  можно пренебречь, в силу его малости.

 

Метод характеристик

 

Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси , тогда уравнение без диффузионной конвекции запишется

.

(1)

 

Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекционное уравнение).

Задача Коши для уравнения (1).

Требуется найти функцию , где  и удовлетворяющую условиям:

(2)

Получим решение задачи методом характеристик.

Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых переменных  и  к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде:

.

(3)

Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравнений:

(4)   (5)

где уравнение (4) – уравнение для характеристик.

Из (5) следует, что , где  некоторая постоянная. Но т.к. , то .

Из (4) получаем

.

(6)

Равенство (6) – решение уравнений характеристик.

Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости , , т.е. графики движения частиц при заданной скорости , называются характеристиками уравнения (1).

Пусть при , , т.е.

;
.	(7)

Подставляя (7) в (2), получим

.

(8)

Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:

,	(9)
.	(10)

Подставим уравнение (10) в (9), получим

.

(11)

Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).

Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью .

Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)

, , ,	(1)
.	(2)
.	(3)

Рис.4.

 

На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при  начальное условие, а при  граничное условие,  граничная характеристика.

Для задачи Коши решенной ранее,

О  а) О  б)  Рис. 5

(или ) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное условие .  Если  ( ), то будет влиять только граничное условие .

Получим решение для граничного решения.

(5)

Запишем уравнения (1) в виде

(6)   (7)

Из (6) следует, что , где .

Учитывая (3) получим .

Интегрируя (7) получаем

.

(8)

Пусть при ,  тогда

(9)

Разделим обе части (9) на  получим

.

(10)

При ,

.

(11)

Подставляя (11) в (3) получаем

.

Тогда решая систему

получаем решение граничной задачи в виде

.

(12)

В (12) .

Решение начально-краевой задачи будет иметь вид

,

где , единичная функция Хевисайда.

Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения

 

 

Построим формулу Даламбера для уравнения

, ,

(1)

Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.

.

(2)

Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:

(3)   (4)

Интегрируя (4), получим

(5)

Пусть при , , тогда

.

Подставим (5) в (3), получим

.
,	(6)
,	(7)
.	(8)

 

Исключим в (6)  для этого учтем начальное условие (7).

,
.	(9)

 

Подставим (9) в (6), получим

,
.	(10)

 

Исключим в (10)  и , потом :

.

(11)

Выражение (11) – формула Даламбера (решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения).

Покажем что (11) является решением (1).

Продифференцируем формулу (11) по , получим

.

(12)

Продифференцируем формулу (11) по , получим

.

(13)

Подставляя (13) и (12) в (1), получаем

.

Откуда получаем тождество: . Следовательно, выражение (11) является решением уравнения (1).