Уравнение неразрывности

В замкнутой изолированной системе полная масса остается постоянной, т.е. она не возникает и не исчезает сама по себе.

Закон сохранения массы означает, что для любого  с поверхностью  изменение массы в  должно равняться количеству массы протекающему через .

Плотностью  в точке  пространства называют предел отношения массы  в элементарном объеме  этому объему, охватывающему точку , при стягивании его в эту точку, т.е.:

,

(2.1)

Тогда

,

(2.2)

где m - интегральный параметр, удовлетворяющий закону аддитивности,  -локальный параметр.

Выделим в пространстве неподвижную замкнутую поверхность  ограничивающую объем . Каждой точке выделенного объема  сопоставим вектор .

Рис.3.

Выберем на поверхности  ориентированный элемент поверхности, где – вектор внешней нормали,  - площадь выбранной площадки.

Тогда через элемент площади  входит или выходит количество массы сплошной среды , где – вектор потока массы.

Через всю поверхность войдет или выйдет количество массы

(2.3)

Будем предполагать, что источники и стоки отсутствуют, тогда закон сохранения массы запишется в виде:

(2.4)

В (2.4) знак минус в правой части объясняется тем, что если  образует с  острый угол, т.е. , то  проходит через  изнутри наружу, т.е. масса в  убывает.

(2.5)

Уравнение (2.5) – уравнение неразрывности для массы в интегральной форме.

Проведем в первом интеграле (2.5) дифференцирование по  как по параметру (поскольку  не зависит от ), т.е. внесем производную под знак интеграла и заменим ее частной производную, поскольку подынтегральная функция  зависит от переменной интегрирования, получим:

(2.6)

Второй интеграл в равенстве (2.5) преобразуем в объемный, воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса. Получим

(2.7)

где

Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), и объединяя интегралы получим

(2.8)

Учитывая в (2.8) произвольность объема , получаем

(2.9)

Уравнение (2.9)– уравнение неразрывности для массы в дифференциальной форме.

Закон Фика

Закон Фика необходим для описания диффузии растворенного(радиоактивного) вещества пропорциональной градиенту их плотности. Плотность радиоактивных примесей является функцией от химического потенциала  

В уравнении (2.9) предыдущего параграфа вектор потока имеет вид

(*)

где  – конвекционная компонента вектора потока, связанная с потоком вещества (массы). Для случая, когда движение массы происходит только за счет конвекции, поток записывается в виде

(2.10)

– диффузионная компонента, возникает при наличии в системе градиента концентрации. Для диффузионного компонента справедлив I Закон Фика:

(2.10*)

 – коэффициент концентрационной диффузии, (далее  будем опускать).

Диффузионный поток пропорционален градиенту плотности, взятому с обратным знаком.

Подставим (2.10) и (2.10*) в (*), получим

(2.11)

Подставим (2.11) в (2.9), получим

(2.12)

В (2.12) каждое слагаемое записали отдельно:

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

(2.13)

Во втором слагаемом в (2.13) осуществим круговую перестановку (знак не меняется, т.к. скалярное произведение).

Из выражения (2.13), получим

(2.14)

Преобразуем второе слагаемое в (2.12):

Условие не сжимаемости жидкости:

(2.15)

Подставив (2.14) и (2.15) в (2.12) получим

(2.16)

Если в (2.16) то получим уравнение диффузии (II Закон Фика):

(2.17)