Устойчивость стохастических систем

 

В радиоавтоматике все без исключения системы являются

стохастическими, т.е. сама динамическая система описыва-

ется стохастическими разностными уравнениями. Наблюдения

 тоже записываются с учетом шумов.

 

1) Линейные стохастические системы

 

(1)  ;  

      

 - шум динамической системы

 - шум наблюдений

 - m-мерный вектор

с - матрица перехода

Устойчивость определяется нормой матрицы ‘c’.

Достаточным условием устойчивости (1) является :                              

              , где

 

(2)    , где  - элементы матрицы ‘c’

      с =| |, i=1,...,m ; k=1,...,m

Если условие (2) выполняется, то система всегда бу-

дет устойчива.

 

Замечание: В некоторых случаях система может быть устой-

       чивой , если , потому что условие (2) яв-

 ляется достаточным, но не необходимым.

 

Пример стохастической системы 1-го порядка:

 

(1) ’

      

  Оценка   - система будет устой-

  чива при  0<c<1.

,                0<c<1 - является необходи-

           c>1           мым и достаточным условием

                   устойчивости системы.

           

                 

                      

 

        Устойчивость нелинейных систем

 

   Нелинейная стохастическая система :

 

(3)

   Устойчивость нелинейных динамических систем опре-

деляется функцией Ляпунова.

 

Определение устойчивости по Ляпунову для детерминирован-

ной системы.

                

                 

Вводится специальная функция, называемая функцией Ляпуно-

ва. Обозначается : . Функция удовлетворяет следующим

условиям :

 

1. Если x=0, то =0

2. Приращение функции Ляпунова во времени D 0,

т.е. функция должна быть убывающей:  

                  Для стохастической системы (3)     

                      обычно функцию Ляпунова выби-           

                      рают так: . А условие

                      устойчивости для системы (3)

                      будет следующим:

                           

                           1) ,

                            i®¥ (ассимптотически)

                           2)   

 

 

Анализ качества работы стохастических систем радиоавтома-

Тики

 

Качество линейных и нелинейных стохастических систем оп-

ределяется реальным качеством фильтра. (см. выше)

Синтез предполагает, что модель соответствует реальному случайному процессу, который мы фильтруем. В этом случае

качество определяется следующим образом :

 

Пример: Одномерный фильтр Калмана.

 

Фильтр :  ;

                         - шум наблюдений

                            

                         - апостариорная дисперсия

                         - коэффициент усиления

                             фильтра Калмана   

               i - дискретное время  

 

 

 

 

 Модель :                           

                           

 

Качество фильтрации определяется адекватностью модели и реального процесса. Как проверить адекватность модели    

                 реальному процессу ? Сделать это

   можно только по невязке: ,

                     где .       

 

                  i 

 

Теорема : Процесс тогда и только тогда адекватен модели,

     когда невязка является белым шумом.

Замечание: Это может случиться только тогда, когда

 

Проблема качества определяется проблемой экстраполяции.