Моделирование случайных процессов с дискретным временем

 

 

(1) - выборка случайного процесса с дискретным

          временем.

X(t)               Процесс (1) в общем виде очень

                     трудно анализировать, этот про-

                     цесс, как правило, получен из

                     эксперимента. Этот реальный

                     процесс обычно аппроксимируется

                     другим процессом, который поз-

                   волит нам математически созда-

                 t вать модели, близкие к реально-

                     му процессу.

Такое создание моделей называется - аппроксимацией.

Сам аппроксимирующий процесс называется агрегат.

 

Марковская аппроксимация случайных процессов

 

Марковским процессом называется такой процесс, у которого

                многомерная плотность вероятности

факторизуется в следующем виде : . Некоторые

значения фазовых переменных в n-мерном пространстве - это

многомерная плотность вероятности

 

Двумерная плотность    Многомерная ФПВ несет всю ин-

вероятности            формацию о случчайном процес-

       W(x,y)        се. Больше информации не су-

                       ществует.

                       Однако использовать эту мно-

                       гомерную ФПВ чрезвычайно сло-

                       жно на практике, поэтому час-

                       то прибегают к некоторым ап-        

                       проксимациям процесса :

                      

              Y     

                                           

 

X 

         Аппроксимировать - выбрать такие отсчеты

процесса в моменты времени , чтобы все  были

независимы, тогда многомерная ФПВ факторизуется следую-

щим образом:  - факторизация.

Однако при такой факторизации может потеряться информа-

ция о случайном процессе. Есть потеря информации для

произвольных отсчетов (кореллированность процесса).

Существует 2й способ аппроксимации - марковский способ

аппроксимации. Для марковских процессов многомерная ФПВ

факторизуется так :

                   

 (2) , где  - ус-

  ловная плотность вероятности.

Факторизация (2) позволяет сильно упростить математичес-

кие выкладки в задачах фильтрации и управления.

Определение : Процесс называется марковским, если выпол-

         няется условие (2)

 

Оказывается, существует очень много генераторов марковс-

ких процессов. Мы переходим к их рассмотрению.

 

            Процессы авторегрессии

 

Процесс авторегрессии - простой генератор марковского

процесса.

 

           1. Односвязная регрессия

   

(3)  

                    - задано.

                    - от генератора белого шума

                    - корреляция.

 

                 Если а<1, то ®0 имеем   

               устойчивый процесс.    

                     

                                                                    a<1

Если а>1 - неустой-

чивый процесс           1                 2        3           4       n

®¥ (P=1)                                                    

                                                                                    x(t)        a=0.9   

                          a³1

                                                                                                                 a=0.3

       

                                  

            1   2  3  4  5          n                         t       

 

а=1 - модель взрыва. Если  - гауссовский случайный про-

цесс, то легко доказать, что многомерная ФПВ факторизует-

ся.

а - коэффициент регрессии.

Если 0<a<1, то можно доказать, что а - это коэффициент

корреляций между  и .

Если процесс изменяется очень медленно, то он сильно кор-

релирован. Коррелированными процессами очень легко управ-

лять и они очень легко анализируются и прогнозируются.